4佐賀大学 2017年 数学 第4問解答・解説

以下，$\log$ は自然対数を表す。$\theta=\log x\ (x\geq1$ より $\theta\geq0)$ とおくと，半角の公式 $\displaystyle \cos^{2}\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1+\cos\theta}{2}$ により $$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}\cos^{2}\frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos\theta}{2x}\qquad(\theta=\log x).$$

(1)　 $\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{2x}+\dfrac{\cos\theta}{2x}$ を $x$ で微分する。$\displaystyle \dfrac{d}{dx}\dfrac{1}{2x}=-\dfrac{1}{2x^{2}}$ であり，$\theta=\log x$ の合成関数として $$\displaystyle \frac{d}{dx}\frac{\cos\theta}{2x}=\frac{(-\sin\theta\cdot\frac1x)(2x)-\cos\theta\cdot2}{4x^{2}}=-\frac{\sin\theta+\cos\theta}{2x^{2}}$$ であるから $$\displaystyle f'(x)=-\frac{1+\sin\theta+\cos\theta}{2x^{2}}\qquad(\theta=\log x).$$ $x\geq1$ すなわち $\theta\geq0$ のもとで，$\displaystyle -\dfrac{1}{2x^{2}}\neq0$ であるから，$f'(x)=0$ は $$g(\theta):=1+\sin\theta+\cos\theta=0$$ と同値である。三角関数の合成により $\displaystyle \sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\sin\!\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)$ なので $$\displaystyle g(\theta)=1+\sqrt{2}\sin\!\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right).$$ $\theta\geq0$ のとき $\displaystyle \theta+\dfrac{\pi}{4}\geq\dfrac{\pi}{4}$ であり，$g(\theta)=0$ となるのは $\displaystyle \sin\!\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{1}{\sqrt2}$ のとき，すなわち $$\displaystyle \theta+\frac{\pi}{4}=\frac{5}{4}\pi+2k\pi\ \text{または}\ \theta+\frac{\pi}{4}=\frac{7}{4}\pi+2k\pi\quad(k=0,1,2,\dots)$$ すなわち $\theta=\pi+2k\pi$ または $\displaystyle \theta=\dfrac{3}{2}\pi+2k\pi$ である。$\theta\geq0$ の中でこれらを小さい順に並べると $$\displaystyle \pi<\frac{3}{2}\pi<3\pi<\frac{7}{2}\pi<\cdots$$ となるから，最小の $\theta$ は $\theta=\pi$ である（$\displaystyle \dfrac{\pi}{4}\le\theta+\dfrac{\pi}{4}<\pi$ では $\displaystyle \sin\!\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)>-\dfrac{1}{\sqrt2}$ となり $g(\theta)>0$ なので，これより小さい $\theta\geq0$ に解はない）。$\theta=\log x$ より，求める最小の $x$ は $$\boxed{x=e^{\pi}}.$$ (検算：$\theta=\pi$ で $g(\pi)=1+\sin\pi+\cos\pi=1+0-1=0$ となり確かに満たす。)

(2)　 (1) の考察から，$0\le\theta<\pi$ では $\displaystyle \dfrac{\pi}{4}\le\theta+\dfrac{\pi}{4}<\dfrac{5}{4}\pi$ で $\displaystyle \sin\!\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)>-\dfrac{1}{\sqrt2}$ であるから $\displaystyle g(\theta)=1+\sqrt2\sin\!\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)>0$，したがって $$\displaystyle f'(x)=-\frac{g(\theta)}{2x^{2}}<0\qquad(1\leq x<e^{\pi})$$ となり，$f$ は $1\le x\le e^{\pi}$ で連続であり、$1\le u<v\le e^{\pi}$ ならば $f(u)>f(v)$ が成り立つ。ここで $$\displaystyle f(1)=\frac{1+\cos0}{2}=1,\qquad f(e^{\pi})=\frac{1+\cos\pi}{2e^{\pi}}=0$$ であり，$\displaystyle 0<\dfrac{1}{10}<1$ であるから，中間値の定理と上の等号を許さない大小関係より，方程式 $\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{10}$ は$1\le x\le e^{\pi}$ の範囲にただ1つの解をもつ。

次に $x>e^{\pi}$ の範囲に解がないことを示す。任意の $x\geq1$ に対して $\displaystyle 0\leq\cos^{2}\dfrac{\log x}{2}\leq1$ であるから $$\displaystyle 0\leq f(x)\leq\frac1x .$$ $e>2.7$，$\pi>3$ であることから $e^{\pi}>e^{3}>2.7^{3}=19.683>10$ が成り立つ。よって $x\geq e^{\pi}$ のとき $$\displaystyle f(x)\leq\frac1x\leq\frac{1}{e^{\pi}}<\frac{1}{10}$$ となり，この範囲では $\displaystyle f(x)=\dfrac1{10}$ を満たす $x$ は存在しない。

以上より，$x\geq1$ の範囲で $\displaystyle f(x)=\dfrac1{10}$ を満たす $x$ は，$1\le x<e^{\pi}$ の範囲にある1つに限られる。すなわち $\displaystyle f(x)=\dfrac1{10}$ はただ1つの解をもつ。（証明終）

(3)　 $\theta=\log x$ とおくと $\displaystyle d\theta=\dfrac{dx}{x}$ であるから，置換積分により $$\displaystyle \int f(x)\,dx=\int\cos^{2}\frac{\theta}{2}\,d\theta=\int\frac{1+\cos\theta}{2}\,d\theta=\frac{\theta}{2}+\frac{\sin\theta}{2}+C=\frac{\log x+\sin(\log x)}{2}+C.$$ （検算：右辺を $x$ で微分すると $\displaystyle \dfrac{1}{2x}+\dfrac{\cos(\log x)}{2x}=\dfrac{1+\cos(\log x)}{2x}=f(x)$ となり一致する。）

$t\geq1$ のとき，$x=1$ で $\log1=0,\ \sin0=0$ であるから $$\displaystyle \int_{1}^{t}f(x)\,dx=\left[\frac{\log x+\sin(\log x)}{2}\right]_{1}^{t}=\frac{\log t+\sin(\log t)}{2}-0=\boxed{\dfrac{\log t+\sin(\log t)}{2}}.$$ （検算：$t=1$ を代入すると $0$ となり，$\displaystyle \int_1^1 f\,dx=0$ と一致する。また右辺を $t$ で微分すると $f(t)$ に戻ることは上で確認済み。）

θ=log x の置換で f(x) を $\displaystyle \frac{1+\cos\theta}{2x}$ の形に整理し、半角公式・三角関数の合成を用いて (1) の f'(x)=0 の最小解を求めた。(2) は (1) の増減の議論から $1\leq u<v\leq e^{\pi}$ならf(u)>f(v)となることと中間値の定理で区間内の解の一意存在を示し、さらに $\displaystyle 0\leq f(x)\leq\frac1x$ と $e^{\pi}>10$ の評価により $x\geq e^{\pi}$ には解がないことを示して全体の一意性を結論した。(3) は同じ置換 θ=log x による置換積分で不定積分を求め、定積分の性質で評価した。各結果は微分による検算・端点での数値確認を行った。