III鳥取大学 2018年 数学 第III問解答・解説

$g(x)=x^3e^{-x^2}$ とおきます。微分すると $g'(x)=x^2e^{-x^2}(3-2x^2)$ です。符号は$\displaystyle |x|>\sqrt{\frac32}$で負、$\displaystyle 0<|x|<\sqrt{\frac32}$で正です。よって$\displaystyle x=-\sqrt{\frac32}$で極小、$\displaystyle x=\sqrt{\frac32}$で極大です。極小値は$\displaystyle -\left(\frac32\right)^{3/2}e^{-3/2}$、極大値は$\displaystyle \left(\frac32\right)^{3/2}e^{-3/2}$です。$x=0$でも導関数は0ですが、左右で増加が続くので極値ではなく、水平接線で原点を通ります。$g$は奇関数で、指数関数が多項式より速く増えるため両端で0に近づきます。

(2) $u=x^2$と置換すると $\displaystyle x^3\,dx=\frac{u}{2}\,du$ です。従って積分は $\displaystyle \frac12\int_0^{r^2}u e^{-u}\,du=\frac12\{1-(r^2+1)e^{-r^2}\}$。与えられた極限から$(r^2+1)e^{-r^2}\to0$なので極限は$\displaystyle \frac12$です.