I鳥取大学 2018年 数学 第I問解答・解説

(2) 線分上の点 $z$ は $z=(1-t)+it$（$0\leq t\leq1$）と表せる。従って $x+y=1$, $x\geq0$, $y\geq0$ である。(1)の逆変換を使うと $$\displaystyle 1=x+y=\frac{u-v}{u^2+v^2},$$ すなわち $$\displaystyle u^2+v^2-u+v=0, \qquad \left(u-\frac12\right)^2+\left(v+\frac12\right)^2=\frac12.$$ また $x\geq0$ と $y\geq0$ はそれぞれ $u\geq0$ と $v\leq0$ に対応する。$w=0$ は $w=1/z$ の値として現れないので除く。よって軌跡は、中心 $\displaystyle (\frac12,-\frac12)$、半径 $1/\sqrt2$ の円のうち第4象限にある半円弧で、端点は $1$ と $-i$ である。中点 $z=(1+i)/2$ は $w=1-i$ に写るため、弧は点 $1-i$ を通る。