2徳島大学 2021年 数学 第2問解答・解説

(1) 曲線上では $a^2-b^2=1$。陰関数を微分すると接線の傾きは $a/b$ であり、接線 $\ell$ は $$\displaystyle y-b=\frac ab(x-a).$$ $x$ 軸との交点は $x=a-b^2/a=1/a$。直線 $m=OP$ は原点を通るので、三直線で囲まれる三角形の底辺は $1/a$、高さは $b$。従って $$\displaystyle \boxed{S_1=\frac{b}{2a}}.$$

(2) 定義から $$\displaystyle f(t)^2-g(t)^2=\frac{(e^t+e^{-t})^2-(e^t-e^{-t})^2}{4}=1.$$ $t\ge0$ なら $f(t)>0$, $g(t)\ge0$ だから、$(f(t),g(t))$ は $x^2-y^2=1$ の第一象限またはその境界上にある（t=0では点(1,0)）。

(3) $f(s)=a, g(s)=b$ とする。$f'(t)=g(t)$ より、曲線の下の面積は $$\displaystyle S_3=\int_1^a\sqrt{x^2-1}\,dx =\int_0^s g(t)f'(t)\,dt =\int_0^s g(t)^2\,dt.$$ ここで $g(t)^2=(e^{2t}-2+e^{-2t})/4$ なので $$\displaystyle \boxed{S_3=\frac{e^{2s}-e^{-2s}-4s}{8}}.$$

(4) 接線と $x$ 軸でできる三角形の面積は $\displaystyle \frac b2(a-1/a)$。この三角形から $S_3$ を引くと $S_2$ だから $$\displaystyle S_1-S_2=\frac ba-\frac{ab}{2}+S_3.$$ また $$\displaystyle ab=f(s)g(s)=\frac{e^{2s}-e^{-2s}}4, \qquad S_3=\frac{ab-s}{2},$$ ゆえに $$\displaystyle S_1-S_2=\frac{b}{a}-\frac{s}{2} =\frac{e^{2s}-1}{e^{2s}+1}-\frac{s}{2}=:F(s),\qquad s>0.$$ $E=e^{2s}>1$ とおくと $$\displaystyle F'(s)=\frac{4E}{(E+1)^2}-\frac12 =-\frac{(E-(3-2\sqrt2))(E-(3+2\sqrt2))}{2(E+1)^2}.$$ $3-2\sqrt2<1<E$ なので、導関数は $E<3+2\sqrt2$ で正、$E>3+2\sqrt2$ で負。従って最大は $$e^{2s}=3+2\sqrt2=(1+\sqrt2)^2, \quad s=\ln(1+\sqrt2)$$ のときにとる。このとき $f(s)=\sqrt2, g(s)=1$、したがって $$\displaystyle \boxed{P=(\sqrt2,1)},\qquad \boxed{\max(S_1-S_2)=\frac1{\sqrt2}-\frac12\ln(1+\sqrt2)}.$$