4徳島大学 2021年 数学 第4問解答・解説

各袋の玉を色だけで表した取り出し順序は、赤・白・青がそれぞれ2回現れる列である。そのような列は$6!/(2!)^3=90$通りで、どの列も同じ確率で起こる。袋A、袋Bの列は独立なので、以下では袋Aの列を固定して袋Bの列を数える。　 (1) 袋Aの各色の位置を行、袋Bの各色を列とし、色が一致する位置がない場合の個数を$n_{ij}$とする。各行和・列和は2で、対角成分は0である。$a=n_{R,W}$とおくと、行和・列和から$a=0,1,2$であり、個数表は$$\begin{pmatrix}0&a&2-a\\2-a&0&a\\a&2-a&0\end{pmatrix}$$となる。この表に対する袋Bの列の数は、袋Aの各色の2つの位置への袋Bの色の割当て方より$\displaystyle \prod\limits _i 2!/\prod\limits _j n_{ij}!$である。$a=0,1,2$の順にその数は$1,8,1$だから、一致が一度もない袋Bの列は合計10通りである。したがって求める確率は$$\displaystyle \frac{10}{90}=\frac19.$$　 (2) 1回目に一致した色を$c$とすると、各袋に残る玉は色$c$が1個、他の2色が各2個である。2回目に一致する確率は$$\displaystyle \frac{1^2+2^2+2^2}{5^2}=\frac9{25}.$$　 (3) 袋Aの最初の3色の個数の型は$(2,1,0)$または$(1,1,1)$である。前者は袋Aの列が$18\cdot3=54$通り、後者は$6\cdot6=36$通りある。同じ型の列は色名の置換と前半・後半の位置の並べ替えで代表列に移せるので、代表としてそれぞれ$A=RRWBBW$、$A=RWBRWB$を考える。固定した袋Aに対し、$h$を1～3回目の一致数、$t$を4～6回目の一致数とする。袋Bの最初の3色を、各色が2個を超えない全ての並びについて調べる。各並びの後には、袋Bに残った色をそのまま並べた列だけが続き、その尾部の並べ方を数えて$(h,t)$ごとに集計すると次の通りである。$$\begin{array}{c|rrrr|r}A=RRWBBW,\ h\backslash t&0&1&2&3&計\\\hline0&10&12&5&0&27\\1&12&17&8&2&39\\2&5&8&8&0&21\\3&0&2&0&1&3\\\hline \text{計}&27&39&21&3&90\end{array}\qquad\begin{array}{c|rrrr|r}A=RWBRWB,\ h\backslash t&0&1&2&3&計\\\hline0&10&12&6&2&30\\1&12&15&6&3&36\\2&6&6&6&0&18\\3&2&3&0&1&6\\\hline \text{計}&30&36&18&6&90\end{array}$$したがって、前半に少なくとも1度一致する袋Bの列数はそれぞれ$90-27=63$、$90-30=60$である。また、一致が合計2度で前半にも一致がある袋Bの列数は、それぞれ$(h,t)=(1,1),(2,0)$の場合を合わせて$17+5=22$、$15+6=21$である。よって全ての袋A・袋Bの列のうち条件を満たすものの比は$$\displaystyle \frac{54\cdot22+36\cdot21}{54\cdot63+36\cdot60}=\frac{1944}{5562}=\frac{36}{103}.$$