1徳島大学 2021年 数学 第1問解答・解説

(1) $\vec p=\overrightarrow{OP}$ とおく。$3\vec p=(\vec p-\vec a)+2(\vec b-\vec p)$ より $4\vec p=-\vec a+2\vec b$。

(2) 重心の位置ベクトルは $\vec g=(\vec a+\vec b+\vec c)/3$。直線PG上の点を $\vec p+t(\vec g-\vec p)$ と表すと、$\vec g-\vec p=7\vec a/12-\vec b/6+\vec c/3$。正四面体の頂点O,A,B,Cは同一平面上にないため、$\vec a,\vec b,\vec c$ は一次独立であり、平面OBC上では $\vec a$ の係数が0。よって $-1/4+7t/12=0$、$t=3/7$。従って $\overrightarrow{OQ}=3\vec b/7+\vec c/7$。

(3) 正四面体の辺長は2なので $|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=2$、$\vec a\cdot\vec b=\vec a\cdot\vec c=\vec b\cdot\vec c=2$。平面OACへの $\vec b$ の正射影を $\vec u=(\vec a+\vec c)/3$ とすると、$(\vec b-\vec u)\cdot\vec a=(\vec b-\vec u)\cdot\vec c=0$。従って $\vec v=\vec b-\vec u$ は平面に垂直で、$|\vec v|^2=4-|\vec a+\vec c|^2/9=4-12/9=8/3$。また $\overrightarrow{OQ}=3\vec b/7+\vec c/7=\vec a/7+2\vec c/7+3\vec v/7$。$D_0$ を $\overrightarrow{OD_0}=\vec a/7+2\vec c/7$ で定めると、$D_0$ は平面OAC上にあり、$QD_0$ は垂直成分そのものである。任意の $D$ を同じ平面上にとれば、直角三角形から $|QD|^2=|D_0D|^2+|QD_0|^2\ge|QD_0|^2$。従って最小値は $3|\vec v|/7=2\sqrt6/7$。