5京都大学 2025年 数学 第5問解答・解説

$c=\cos\theta$, $s=\sin\theta$, $h=\sqrt2/4$ とおく。 $-\pi/4<\theta<\pi/4$ より $c>1/\sqrt2$ なので、$P$ の高さ $c/2$ は $A$ の高さ $h$ より大きい。 したがって直線 $AP$ は $xy$ 平面に平行ではなく、交点 $Q$ は常に一意に存在する。

交点の座標。 直線上の点を $A+t(P-A)$ と表す。第3成分を0とすると $$\displaystyle h+t(c/2-h)=0,\qquad t=\frac1{1-\sqrt2c}.$$ よって $Q=(x,y,0)$ の平面座標は $$\displaystyle x=\frac c{1-\sqrt2c},\qquad y=\frac s{1-\sqrt2c}.$$ ここで $1+\sqrt2x=1/(1-\sqrt2c)<0$ だから $$\displaystyle c=\frac{x}{1+\sqrt2x},\qquad s=\frac{y}{1+\sqrt2x}.$$ $c^2+s^2=1$ を使えば $$x^2+y^2=(1+\sqrt2x)^2, \qquad \boxed{(x+\sqrt2)^2-y^2=1}.$$ さらに $x$ を $c$ の関数とみると $$\displaystyle \frac{d}{dc}\left(\frac c{1-\sqrt2c}\right) =\frac1{(1-\sqrt2c)^2}>0.$$ $1/\sqrt2<c\le1$ より $$\displaystyle x\le\frac1{1-\sqrt2}=-1-\sqrt2.$$

この左側の枝の全点が得られること。 $(x+\sqrt2)^2-y^2=1$, $x\le-1-\sqrt2$ を満たす任意の点をとり、 $$\displaystyle D=1+\sqrt2x<0,\qquad c=\frac xD,\qquad s=\frac yD$$ とおく。曲線の式から $c^2+s^2=1$。 また $$\displaystyle c-\frac1{\sqrt2}=\frac{-1}{\sqrt2D}>0, \qquad c-1=\frac{-1-(\sqrt2-1)x}{D}\le0.$$ よって $1/\sqrt2<c\le1$ であり、$\cos\theta=c$, $\sin\theta=s$ を満たす $-\pi/4<\theta<\pi/4$ が存在する。交点の式に戻せば、もとの $(x,y)$ が得られる。 したがって軌跡は $$\boxed{(x+\sqrt2)^2-y^2=1,\qquad x\le-1-\sqrt2}$$ であり、双曲線の左側の枝全体である。 頂点 $(-1-\sqrt2,0)$ は $\theta=0$ に対応して含まれる。 $\theta\to\pm\pi/4$ では点は無限遠へ進むため、除くべき有限の端点はない。 漸近線は $y=\pm(x+\sqrt2)$。図の青線が軌跡、破線が漸近線である。