III慶應義塾大学 2004年 数学 第III問解答・解説

直線上で $z$ を媒介変数にとる。$z=1$ のとき $P(1,0,1)$、$z=-1$ のとき $Q(0,1,-1)$ だから、$x,y$ はそれぞれ $z$ の一次式として $$\displaystyle x=\frac{z+1}{2},\qquad y=\frac{1-z}{2}$$ となる。したがって、空欄(あ)、(い)、(う)、(え)に入るのはそれぞれ $\displaystyle \frac12,\ \frac12,\ -\frac12,\ \frac12$ である。

直線を $z$ 軸のまわりに回すと、高さ $z$ における円の半径 $\rho$ は直線上の点の $xy$ 平面での距離である。 $$\displaystyle \rho^2=x^2+y^2=\frac{(z+1)^2+(1-z)^2}{4}=\frac{z^2+1}{2}.$$ 平面 $z=1,-1$ の間の立体を高さごとの円板に分けると、体積は $$\displaystyle V=\int_{-1}^{1}\pi\rho^2\,dz=\frac{\pi}{2}\int_{-1}^{1}(z^2+1)\,dz=\frac{4\pi}{3}.$$ よって、空欄(お)に入る値は $\displaystyle \frac{4\pi}{3}$ である。

平面 $\alpha$ は $y$ 軸を含み、点 $(1,0,k)$ を通るから、その方程式は $z=kx$ である。曲面 $S$ 上では $x^2+y^2=(z^2+1)/2$ なので、$\alpha$ との交線を $xy$ 平面へ $z$ 軸に平行に射影すると、$z=kx$ を代入して $$\displaystyle y^2=\frac12+\left(\frac{k^2}{2}-1\right)x^2$$ を得る。$k=1$ なら $\displaystyle y^2=\frac12-\frac{x^2}{2}$、すなわち $x^2+2y^2=1$ であり、空欄(か)にはこの楕円の方程式が入る。係数 $x^2$ が $0$ になると射影は $\displaystyle y^2=\frac12$、すなわち $\displaystyle y=\pm\frac1{\sqrt2}$ という平行な2直線になる。$k>0$ より、空欄(き)に入るのは $\sqrt2$ である。

原文は、2点を通る直線をz軸のまわりに回した曲面、平面 z=±1 間の体積、および曲面と特定平面の交線をxy平面へ射影した図形を問う。直線をzで表し、各高さの回転断面を円として体積を求める。最後は交線の式に z=kx を代入し、射影図形の方程式を得る。