I慶應義塾大学 2004年 数学 第I問解答・解説

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。

(1) $xy$ 平面上で，$\theta$ を媒介変数として $$\displaystyle \begin{cases} x=5\cos\theta+\cos5\theta\\ y=5\sin\theta+\sin5\theta \end{cases} \qquad \left(0\leq\theta\leq\frac{\pi}{3}\right)$$ で表される曲線を $C$ とする。点 $(x,y)$ が曲線 $C$ 上にあるとき，$x+y$ は，$\theta=\boxed{(\text{あ})}$ に対応する点で最大値 $\boxed{(\text{い})}$ をとり，$\theta=\boxed{(\text{う})}$ に対応する点で最小値 $\boxed{(\text{え})}$ をとる。また，曲線 $C$ の長さは $\boxed{(\text{お})}$ である。

(2) $f(x)$ を $x$ の多項式とする。ある定数 $b$ が存在して，すべての自然数 $n$ に対して等式 $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}f(k)=2f(n)+n^{3}+b$$ が成り立つとする。このとき，$b$ と $f(x)$ を求めよう。$f(x)$ の各項のうち，次数の最も高い項を $ax^{r}\ (a\neq0,\ r\geq0)$ とし，$f(x)=ax^{r}+g(x)$ とおくと，$a=\boxed{(\text{か})},\ r=\boxed{(\text{き})}$ である。さらに，$g(x)=\boxed{(\text{く})}$ であり，$b=\boxed{(\text{け})}$ でなければならない。

また，ある定数 $c$ と $x$ の多項式 $h(x)$ が存在して，すべての実数 $x$ に対して $$\displaystyle \int_{0}^{x}h(t)\,dt=h(x)+\frac{x^{4}}{4}+c$$ が成り立つとする。このとき $c=\boxed{(\text{こ})},\ h(x)=\boxed{(\text{さ})}$ である。