鹿児島大学 2007年数学第4問解答・解説

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1問題

鹿児島大学2007年度第4問

4点 $A(\vec{a}), B(\vec{b}), C(\vec{c}), D(\vec{d})$ を頂点とする四面体 $ABCD$ について、ベクトル $\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}$ を用いて、次の各問いに答えよ。

(1) $\triangle ABC$ の重心 $G$ の位置ベクトル $\vec{g}$ と、 $\triangle BCD$ の重心 $H$ の位置ベクトル $\vec{h}$ を求めよ。

(2) 2点 $D,G$ を通る直線 $\ell_{1}$ の方程式を求めよ。2点 $A,H$ を通る直線 $\ell_{2}$ の方程式を求めよ。

(3) (2)の2直線 $\ell_{1},\ell_{2}$ は交点を持つことを示し、その交点の位置ベクトルを求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

重心Gの位置ベクトルg
(a+b+c)/3
重心Hの位置ベクトルh
(b+c+d)/3
直線ℓ₁
$r=d+t((a+b+c)/3-d), t∈R$
直線ℓ₂
$r=a+s((b+c+d)/3-a), s∈R$
交点
(a+b+c+d)/4

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 三角形の重心の位置ベクトルは頂点の位置ベクトルの平均だから、 $\displaystyle \vec g=\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}$ 、 $\displaystyle \vec h=\frac{\vec b+\vec c+\vec d}{3}$ 。(2) 直線は通る一点と方向ベクトルで表せるので、 $\ell_1:\vec r=\vec d+t(\vec g-\vec d)$ 、 $\ell_2:\vec r=\vec a+s(\vec h-\vec a)$ （t,sは実数）。(3) 2直線の点が一致するよう、四面体の頂点A,B,C,Dに関する係数を比べる。l1上の点の係数は $(t/3,t/3,t/3,1-t)$ 、l2上の点は $(1-s,s/3,s/3,s/3)$ 。係数比較で $t=s,\quad t/3=1-t$ となり、 $\displaystyle t=s=\frac34$ を得る。残るD係数も $\displaystyle 1-t=t/3=\frac14$ で一致する。よってこの2直線は交わり、交点の位置ベクトルは $\displaystyle \frac{\vec a+\vec b+\vec c+\vec d}{4}$ 。四面体の頂点は同一平面上にないので、頂点に関する重心座標は一意であり、係数比較が正当化される。

この問題で使う考え方

重心の公式
直線の媒介変数表示
係数比較

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