4九州大学 2009年 数学 第4問解答・解説

$X=(1,0)^{\mathsf T}$ とおき、$Y=(u,v)^{\mathsf T}$ とする。

(1) $Y=-X$ と仮定すると、$AX=-X$ であり、$AY=Z$ から $Z=A(-X)=-AX=X$ となる。さらに $AZ=X$ と $Z=X$ から $AX=X$ を得る。よって $X=-X$、すなわち $X=0$ となるが、これは $|X|=1$ に反する。したがって $Y\ne-X$。

(2) 仮定 $Y\ne X$ と (1) より $Y\ne\pm X$。したがって $v\ne0$。任意の $Z=(z_1,z_2)^{\mathsf T}$ について、$Z=sX+tY$ は $$s+tu=z_1,\qquad tv=z_2$$ を満たすので、 $$\displaystyle t=\frac{z_2}{v},\qquad s=z_1-\frac{uz_2}{v}$$ とただ一通りに定まる。

(3) $Z=sX+tY$ に行列 $A$ を作用させると $$X=AZ=sY+tZ=sY+t(sX+tY)=(ts)X+(s+t^2)Y.$$ $X,Y$ は一次独立だから $ts=1,\ s+t^2=0$。従って $t^3=-1$ であり、実数 $t$ について $t=-1,\ s=-1$。よって $Z=-X-Y$、すなわち $$X+Y+Z=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}.$$

(4) $Z=-X-Y$ と $|X|=|Y|=|Z|=1$ から $$\displaystyle 1=|Z|^2=|X+Y|^2=2+2X\mathbin{\cdot}Y, \qquad X\mathbin{\cdot}Y=-\frac12.$$ よって $\displaystyle u=-\frac12$、$\displaystyle v=\pm\frac{\sqrt3}{2}$。$AX=Y$ が $A$ の第1列を定め、$AY=Z$ から第2列を定める。$\displaystyle v=\frac{\sqrt3}{2}$ の場合と $\displaystyle v=-\frac{\sqrt3}{2}$ の場合をそれぞれ解くと、 $$\displaystyle A=\begin{pmatrix}-\frac12&-\frac{\sqrt3}{2}\\[1mm]\frac{\sqrt3}{2}&-\frac12\end{pmatrix} \quad\text{または}\quad A=\begin{pmatrix}-\frac12&\frac{\sqrt3}{2}\\[1mm]-\frac{\sqrt3}{2}&-\frac12\end{pmatrix}.$$ 各行列に対応する $Y,Z$ を代入すると、いずれも $AX=Y,\ AY=Z,\ AZ=X$ および $|X|=|Y|=|Z|=1$ を満たす。

(1)はY=-Xを仮定して矛盾を得る。(2)はX,Yの一次独立性を成分で確認する。(3)は表示の一意性による係数比較。(4)はZ=-X-Yと各ベクトルの長さからYを2通りに定め、行列の列を決めて直接検算する。