1京都大学 2013年 数学 第1問解答・解説

$\vec u=\overrightarrow{AB},\ \vec v=\overrightarrow{AD}$ とし、$A=\vec0, B=\vec u, D=\vec v, C=\vec u+\vec v$ と置く。内分比から $$\displaystyle E=\frac12\vec u,\qquad F=\vec u+\frac23\vec v,\qquad G=\frac14\vec u+\vec v.$$ $P$ を $CE$ 上で $P=C+t(E-C)$、$FG$ 上で $P=F+s(G-F)$ と表すと $$\displaystyle P=\left(1-\frac t2\right)\vec u+(1-t)\vec v =\left(1-\frac{3s}{4}\right)\vec u+\left(\frac23+\frac s3\right)\vec v.$$ 係数を比較して $$\displaystyle \frac t2=\frac{3s}{4},\qquad 1-t=\frac23+\frac s3,$$ したがって $s=2/11,\ t=3/11$ であり、 $$\displaystyle P=\frac{19}{22}\vec u+\frac8{11}\vec v.$$ 直線 $AP$ 上の点を $\lambda P$ と表す。点$Q$は辺$BC$上にあるので $\vec u$ の係数が1だから $\lambda(19/22)=1$、すなわち $\lambda=22/19$。よって $AP:PQ=1:(\lambda-1)=19:3$。

AB, ADを基底とする位置ベクトルで辺上の内分点を表し、CEとFGの交点を係数比較で求める。その後、直線APとBCの交点Qまでの倍率から線分比を計算する。