6京都大学 2013年 数学 第6問解答・解説

表を $H$、裏を $T$ とすると、石の座標 $u$ は $$H(u)=-u,\qquad T(u)=2-u$$ と移る。従って2回の結果ごとの変位は $$HH:u\mapsto u,\quad TT:u\mapsto u,\quad HT:u\mapsto u+2,\quad TH:u\mapsto u-2.$$ ここで左の文字を先に投げるものとする。

(1) 4通りのうち $HH,TT$ の2通りで石は元の座標に戻る。ゆえに確率は $$\displaystyle \frac{2}{4}=\frac12.$$

(2) $2n$ 回の投てきを先頭から2回ずつ $n$ 組に分ける。各組は、$HT$ なら座標を $+2$、$TH$ なら $-2$ 動かし、$HH$ または $TT$ なら動かさない。座標 $2n-2=2(n-1)$ へ達するには、$n$ 組全てが $+2$ なら得られる最大の $2n$ から、合計で2だけ減らせばよい。各組の減少量は、$HT$ なら0、$HH$ または $TT$ なら2、$TH$ なら4なので、ちょうど1組が不動（$HH$ または $TT$）、他の $n-1$ 組が $HT$ でなければならない。

不動にする組の選び方は $n$ 通り、その組の出方は2通りで、残りの組は全て $HT$ に定まる。したがって有利な列は $2n$ 通り。全ての $2n$ 回の結果は $2^{2n}$ 通りで等確率だから、求める確率は $$\displaystyle \frac{2n}{2^{2n}}=\frac{n}{2^{2n-1}}.$$