6千葉大学 2013年 数学 第6問解答・解説

(1) 階乗定義を使い、二項係数の比に直すと $$\displaystyle \frac{\binom{n+k+1}{k+1}}{\binom{n+k}{k}}=\frac{n+k+1}{k+1},\qquad \frac{\binom{n+k+1}{k+1}}{\binom{n+k+1}{k}}=\frac{n+1}{k+1}.$$ 与式はこの二つの差なので $$\displaystyle \frac{n+k+1}{k+1}-\frac{n+1}{k+1}=\frac{k}{k+1},$$ 確かにnを含まない。これはk=0のときも0となり定義に適合する。

(2) $r\ge3$ について $$\displaystyle \frac1{\binom r3}=\frac6{r(r-1)(r-2)} =\frac32\left(\frac1{\binom{r-1}{2}}-\frac1{\binom r2}\right),$$ 最後の等式は各逆数を $2/((r-1)(r-2))$, $2/(r(r-1))$ と書けば確認できる。従って和をとると途中の項が打ち消し合い $$\displaystyle \sum\limits _{r=3}^m\frac1{\binom r3} =\frac32\left(1-\frac1{\binom m2}\right) =\frac{3(m-2)(m+1)}{2m(m-1)}.$$