II横浜市立大学 2013年 数学 第II問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1)}\quad n=2\text{ のとき }(x^2-a^2)^2=x^4-2a^2x^2+a^4\text{ だから }P_2(x)=12x^2-4a^2\text{ となり、}P_2(-a)=8a^2.\quad n=3\text{ のとき }(x^2-a^2)^3=x^6-3a^2x^4+3a^4x^2-a^6\text{ だから }P_3(x)=120x^3-72a^2x\text{ となり、}P_3(-a)=-120a^3+72a^3=-48a^3.\quad \text{(2) }n=1\text{ では積の微分法から }(uv)'=u'v+uv'=\sum\limits _{k=0}^{1}\binom{1}{k}u^{(1-k)}v^{(k)}\text{ となる。}n\geq1\text{ で }(uv)^{(n)}=\sum\limits _{k=0}^{n}\binom{n}{k}u^{(n-k)}v^{(k)}\text{ が成立すると仮定する。これを微分し、積の微分法を各項に用いると }(uv)^{(n+1)}=\sum\limits _{k=0}^{n}\binom{n}{k}u^{(n+1-k)}v^{(k)}+\sum\limits _{k=0}^{n}\binom{n}{k}u^{(n-k)}v^{(k+1)}=u^{(n+1)}v+\sum\limits _{j=1}^{n}\left(\binom{n}{j}+\binom{n}{j-1}\right)u^{(n+1-j)}v^{(j)}+uv^{(n+1)}.\text{ ここで }1\leq j\leq n\text{ に対して、}\binom{n}{j}+\binom{n}{j-1}=\frac{n!}{j!(n-j)!}+\frac{n!}{(j-1)!(n-j+1)!}=\frac{(n+1)!}{j!(n+1-j)!}=\binom{n+1}{j}.\text{ 両端の係数も }\binom{n+1}{0}=\binom{n+1}{n+1}=1\text{ であるから、}\ (uv)^{(n+1)}=\sum\limits _{j=0}^{n+1}\binom{n+1}{j}u^{(n+1-j)}v^{(j)}\text{ を得る。ゆえに数学的帰納法により、公式はすべての }n\geq1\text{ で成立する。}\quad \text{(3) }n\geq1\text{ とし、}u(x)=(x-a)^n,\ v(x)=(x+a)^n\text{ とおく。(2) より }P_n(x)=\sum\limits _{k=0}^{n}\binom{n}{k}u^{(n-k)}(x)v^{(k)}(x).\text{ }x=-a\text{ では }k<n\text{ の項は }v^{(k)}(-a)=\frac{n!}{(n-k)!}(-a+a)^{n-k}=0\text{ となり、}k=n\text{ の項だけが残る。したがって }P_n(-a)=u(-a)v^{(n)}(-a)=(-2a)^n n!=n!(-2a)^n.\text{ }x=a\text{ では }k\geq1\text{ の項は }u^{(n-k)}(a)=\frac{n!}{k!}(a-a)^k=0\text{ となり、}k=0\text{ の項だけが残る。よって }P_n(a)=u^{(n)}(a)v(a)=n!(2a)^n.\text{ }n=0\text{ では }P_0(x)=1\text{ であり、両式も }0!(-2a)^0=0!(2a)^0=1\text{ となる。以上より結論は }n\geq0\text{ で成立する。}$$