III横浜市立大学 2013年 数学 第III問解答・解説

(1) 円と放物線はいずれも $y$ 軸について対称であり、接点が異なる2点なので、その座標を $(a,b),(-a,b)$（$a>0$）とおく。円上で $b=0$ なら円の接線は垂直となるが、放物線の接線は傾きが有限であるから、$b\ne 0$ である。点 $(a,b)$ における円の接線の傾きは $-a/b$、放物線の接線の傾きは $-pa$ である。両者が等しいので、$-pa=-a/b$ より $b=1/p$ を得る。したがって円上にあることから $a^2+b^2=1$ より $a^2=1-1/p^2$ であり、$a>0$ だから $p>1$ である。また放物線上にあることから $\displaystyle b=-\frac p2a^2+q$ なので、$\displaystyle q=b+\frac p2a^2=\frac1p+\frac p2\left(1-\frac1{p^2}\right)=\frac{p^2+1}{2p}$。よって $2pq=p^2+1$ である。$p>1$ のとき $\displaystyle q-1=\frac{(p-1)^2}{2p}>0$ だから $q>1$ となる。逆に $p>1$ と $\displaystyle q=\frac{p^2+1}{2p}$ を満たすとき、$a=\sqrt{1-1/p^2}>0$、$b=1/p$ とおけば、$(\pm a,b)$ は円と放物線の両方の上にあり、各点で接線の傾きも一致する。したがって求める条件は $2pq=p^2+1$、$p>1$（したがって $q>1$）である。

(2) 放物線が $x$ 軸と交わる点の $x$ 座標は $x=\pm\sqrt{2q/p}$ である。$r=\sqrt{2q/p}$ とおくと、$y\ge0$ の部分の面積は $\displaystyle S=\int_{-r}^{r}\left(q-\frac p2x^2\right)\,dx=2\left[qx-\frac p6x^3\right]_0^r=\frac43qr$。 (1) の関係と $p>1$ より、$\displaystyle r=\sqrt{(p^2+1)/p^2}=\frac{\sqrt{p^2+1}}p$、$\displaystyle q=\frac{p^2+1}{2p}$ である。ゆえに $\displaystyle S=\frac43\cdot\frac{p^2+1}{2p}\cdot\frac{\sqrt{p^2+1}}p=\frac{2(p^2+1)^{3/2}}{3p^2}$。

(3) $p>1$ において、(2) の式を微分すると $\displaystyle S'(p)=\frac{2(p^2-2)\sqrt{p^2+1}}{3p^3}$ となる。分母と平方根は正なので、$1<p<\sqrt2$ では $S'(p)<0$、$p>\sqrt2$ では $S'(p)>0$ である。したがって $S$ は $p=\sqrt2$ で最小となり、その値は $\displaystyle S=\frac{2(2+1)^{3/2}}{3\cdot2}=\sqrt3$ である。