1名古屋市立大学 2015年 数学 第1問解答・解説

点 $\displaystyle A\left(-1,\frac12\right)$ を通り、傾きが $m$ の直線 $\ell$ は$$\displaystyle y-\frac12=m(x+1),\qquad y=mx+m+\frac12$$ である。

(1) $C$ と $\ell$ の交点では $\displaystyle \frac{x^2}{2}=mx+m+\frac12$ だから、$$x^2-2mx-2m-1=0,\qquad (x+1)(x-(2m+1))=0.$$ よって $x=-1$ または $x=2m+1$ であり、それぞれの $y$ 座標は放物線の式から $\displaystyle \frac12$、$\displaystyle \frac{(2m+1)^2}{2}$ となる。したがって交点は $\displaystyle \left(-1,\frac12\right)$、$\displaystyle \left(2m+1,\frac{(2m+1)^2}{2}\right)$ である。

(2) $\ell$ と $x$ 軸との交点の $x$ 座標を $x_0$ とすると、$$\displaystyle 0=mx_0+m+\frac12,\qquad x_0=-1-\frac{1}{2m}<-1.$$ また $C$ は $x$ 軸と $x=0$ で交わる。第2象限で囲まれる図形は、線分 $x=x_0$ から $x=-1$ までは $\ell$ と $x$ 軸の間、線分 $x=-1$ から $x=0$ までは $C$ と $x$ 軸の間にある。前者は底辺 $\displaystyle \frac{1}{2m}$、高さ $\displaystyle \frac12$ の三角形であり、後者の面積は定積分で求められるから、$$\displaystyle S(m)=\frac12\cdot\frac{1}{2m}\cdot\frac12+\int_{-1}^{0}\frac{x^2}{2}\,dx =\frac{1}{8m}+\frac16=\frac{4m+3}{24m}.$$

(3) $\ell-C$ は$$\displaystyle mx+m+\frac12-\frac{x^2}{2}=-\frac12(x+1)(x-(2m+1))=\frac12(x+1)(2m+1-x)$$ と因数分解できる。これは $-1<x<2m+1$ で正なので、両曲線で囲まれた面積は$$\displaystyle T(m)=\int_{-1}^{2m+1}(\ell-C)\,dx =\frac12\int_{0}^{2m+2}u(2m+2-u)\,du =\frac{(2m+2)^3}{12}=\frac23(m+1)^3,$$ ただし $u=x+1$ とおいた。したがって$$\displaystyle \frac{T(m)}{mS(m)}=\frac{16(m+1)^3}{4m+3}.$$ $m>0$ では分母 $4m+3$ は正だから、これが $18$ となる条件は$$P(m)=8m^3+24m^2-12m-19=0$$ と同値である。$$P'(m)=24m^2+48m-12,\qquad P''(m)=48m+48>0$$ より $P'$ は $m>0$ で増加し、$\displaystyle P'(0)<0<P'\left(\frac{9}{10}\right)$ だから、$P$ は正の範囲でいったん減少した後に増加する。また$$\displaystyle P(0)=-19<0,\qquad P\left(\frac{9}{10}\right)=-\frac{566}{125}<0,\qquad P(1)=1>0.$$ よって $\displaystyle 0<m\le\frac{9}{10}$ では $P(m)<0$ であり、$\displaystyle m\ge\frac{9}{10}$ では $P$ は増加するので、条件を満たす $m$ はただ一つで $\displaystyle \frac{9}{10}<m<1$ にある。従って求める自然数は $n=9$ である。