3山口大学 2020年 数学 第3問解答・解説

b=$\displaystyle \frac{k}{2}$,　 u=x-$\displaystyle \frac{k}{2}$,　 c=$\displaystyle \alpha\beta-\frac{k^2}{4}$ とおくと、曲線Cは $y=u^2+c$、点Pを通る直線lは $y=(p-b)^2+c$、直線mは $u=b$ である。したがって、面積にはcは影響しない。

(1)　 $0\leq p\leq b$ とし、$q=b-p$ とおく。このときlとCの交点のu座標は $-q,\ q$ である。囲まれた部分は、二交点間の部分と、右側の交点からu=bまでの部分であるから、 $$\displaystyle \begin{aligned} S(p) &=\int_{-q}^{q}(q^2-u^2)\,du+\int_q^b(u^2-q^2)\,du\\ &=\frac{4}{3}q^3+\frac{(b-q)^2(b+2q)}{3}\\ &=\frac{b^3}{3}-bq^2+2q^3. \end{aligned}$$ $\displaystyle q=b-p,\ b=\frac{k}{2}$ を代入すると、 $$\displaystyle \begin{aligned} S(p) &=\frac{b^3}{3}-b(b-p)^2+2(b-p)^3\\ &=\frac{k^3}{6}-k^2p+\frac{5}{2}kp^2-2p^3. \end{aligned}$$

(2)　 $0\leq p\leq k$ なら、$q=|p-b|$ とおくと $0\leq q\leq b$ であり、同じ領域分解から $$\displaystyle S(p)=F(q),\qquad F(q)=\frac{b^3}{3}-bq^2+2q^3.$$ $$F'(q)=2q(3q-b)$$ より、$F$ は $0<q<b/3$ で減少し、$b/3<q\leq b$ で増加する。したがって最小値はq=b/3のときであり、 $$\displaystyle F\left(\frac{b}{3}\right)=\frac{8b^3}{27}=\frac{k^3}{27}.$$ $q=|p-b|=b/3$ から $p=b-b/3=k/3$ または $p=b+b/3=2k/3$ を得る。

残る範囲は $p<0$ である。このとき $a=b-p>b$ とおけば、lとCの交点は $u=-a$ だけがC上にあり、囲まれる面積は $$\displaystyle S(p)=\int_{-a}^{b}(a^2-u^2)\,du =\frac{2a^3+3a^2b-b^3}{3}.$$ これは $a>b>0$ で $a$ について増加し、$a=b$ での値は $4b^3/3=k^3/6>k^3/27$ である。よって全域での最小値とそのときのpは上記のとおりである。