4山口大学 2020年 数学 第4問解答・解説

(1) 解と係数の関係より $$\displaystyle s=\alpha+\beta=-\frac1{\sqrt3},\qquad p=\alpha\beta=\frac13.$$ したがって $$\displaystyle a_1=s=-\frac1{\sqrt3},\qquad a_2=s^2-2p=-\frac13,$$ $$\displaystyle a_3=s^3-3ps=\frac2{3\sqrt3},\qquad a_4=(\alpha^2+\beta^2)^2-2(\alpha\beta)^2=a_2^2-2p^2=-\frac19.$$

(2) $\alpha$ は $3x^2+\sqrt3x+1=0$ の解だから $$\displaystyle \alpha^2=-\frac{\alpha}{\sqrt3}-\frac13, \quad \alpha^3=-\frac{\alpha^2}{\sqrt3}-\frac{\alpha}{3}=\frac1{3\sqrt3}.$$ 同様に $\displaystyle \beta^3=\frac1{3\sqrt3}$。よって任意の自然数 $n$ について $$\displaystyle a_{n+3}=\alpha^n\alpha^3+\beta^n\beta^3=\frac1{3\sqrt3}(\alpha^n+\beta^n)=\frac1{3\sqrt3}a_n.$$

(3) $\displaystyle D=(\alpha-1)(\beta-1)=p-s+1=\frac43+\frac1{\sqrt3}>0$ なので分母は0でない。等比数列の和から $$\displaystyle S_n=\frac{\alpha(1-\alpha^n)}{1-\alpha}+\frac{\beta(1-\beta^n)}{1-\beta} =\frac{-\alpha(1-\alpha^n)(\beta-1)-\beta(1-\beta^n)(\alpha-1)}{D}.$$ 分子を整理すると $$-\alpha(\beta-1)-\beta(\alpha-1)+\alpha^{n+1}(\beta-1)+\beta^{n+1}(\alpha-1) =\alpha+\beta-2\alpha\beta+\alpha\beta a_n-a_{n+1}.$$ 従って $$\displaystyle S_n=-\frac{1}{(\alpha-1)(\beta-1)}a_{n+1} +\frac{\alpha\beta}{(\alpha-1)(\beta-1)}a_n +\frac{\alpha+\beta-2\alpha\beta}{(\alpha-1)(\beta-1)}.$$

(4) $\displaystyle r=\frac1{3\sqrt3}$ とおくと $0<r<1$。小問(2)を繰り返し用いて $$a_{3k+1}=r^ka_1,\quad a_{3k+2}=r^ka_2,\quad a_{3k+3}=r^ka_3\qquad(k=0,1,2,\ldots)$$ を得る。よって絶対値の和は $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}|a_n|=(|a_1|+|a_2|+|a_3|)\sum\limits _{k=0}^{\infty}r^k$$ であり，等比級数 $\displaystyle \sum r^k$ が収束するから元の級数も収束する。その和は $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}a_n=\frac{a_1+a_2+a_3}{1-r} =\frac{-\frac1{\sqrt3}-\frac13+\frac2{3\sqrt3}}{1-\frac1{3\sqrt3}} =-\frac{5+2\sqrt3}{13}.$$