1山口大学 2020年 数学 第1問解答・解説

袋Aの赤玉の個数を$r$とすると、袋Aには赤玉$r$個、白玉$5-r$個、袋Bには赤玉$5-r$個、白玉$r$個が入っている。1回の操作で玉を入れ替える場合の確率を$q=(6-n)/6$とする。赤玉が1個減るのはAから赤玉、Bから白玉を取り出して入れ替える場合なので、その確率は$q(r/5)^2$である。同様に、赤玉が1個増える確率は$q((5-r)/5)^2$であり、それ以外では$r$は変わらない。

(1) $n=1$では$q=5/6$である。最初の操作後に$r=5$となる確率は$1/6$、$r=4$となる確率は$5/6$である。$r=5$から次に$r=5$である確率は$1/6$、$r=4$から次に$r=5$である確率は$q(1/5)^2=1/30$だから、求める確率は $$\displaystyle \frac16\cdot\frac16+\frac56\cdot\frac1{30}=\frac1{18}.$$

(2) 2回の操作後の状態の確率は $$\displaystyle P(r=5)=\frac1{18},\quad P(r=4)=\frac12,\quad P(r=3)=\frac49.$$ 実際、$r=4$から$r=5,4,3$へ移る確率はそれぞれ$1/30,13/30,8/15$であり、これと最初の操作後の確率から上の値を得る。3回目の操作で$r=5$となるのは、$r=5$から変化しない場合か、$r=4$から1増える場合である。よって $$\displaystyle \frac1{18}\cdot\frac16+\frac12\cdot\frac1{30}=\frac7{270}.$$

(3) ここでは$q=(6-n)/6$とする。最初の操作後に$r=5$となる確率は$1-q$、$r=4$となる確率は$q$である。最初に$r=5$なら、2回目に$r=4$となる確率は$q$である。最初に$r=4$なら、2回目に$r$が変わらない確率は、$r$が1増える確率と1減る確率を引いて $$\displaystyle 1-q\left(\frac{4^2}{25}+\frac{1^2}{25}\right)=1-\frac{17q}{25}$$ である。したがって $$\displaystyle p_n=(1-q)q+q\left(1-\frac{17q}{25}\right)=2q-\frac{42}{25}q^2.$$ $n=1,2,3,4,5,6$に対する値は順に $$\displaystyle \frac12,\quad\frac{44}{75},\quad\frac{29}{50},\quad\frac{12}{25},\quad\frac{43}{150},\quad0.$$ よって最大値は$\displaystyle \frac{44}{75}$であり、そのとき$n=2$である。