2山口大学 2020年 数学 第2問解答・解説

円 $C_1,C_2$ の中心はそれぞれ $(0,a/2),(1,b/2)$ である。方程式は $$C_1:\ x^2+y^2-ay=0,\qquad C_2:\ x^2-2x+1+y^2-by=0.$$ 2式の差から、共通点では $$\displaystyle x=\frac{1+(a-b)y}{2}$$ となる。これを $C_1$ に代入して整理すると $$F(y):=\bigl((a-b)^2+4\bigr)y^2-2(a+b)y+1=0.$$ この変形は逆にもたどれるので、$F(y)=0$ の各実数解に対し上の $x$ を取った点は円の共通点となり、同じ $y$ に対応する共通点は一つだけである。$F$ の判別式は $$\Delta=4(a+b)^2-4\bigl((a-b)^2+4\bigr)=16(ab-1).$$ したがって、異なる2点で交わる必要十分条件は $\Delta>0$、すなわち $ab>1$。

(2) $t=1/c$ とおく。$c>0$ なので $t>0$ である。$F$ は最高次係数 $(a-b)^2+4>0$ の二次式である。水平線 $y=t$ の上下に交点が一つずつあることは、$F$ の2根が $t$ を厳密にはさむことと同値であり、これは $F(t)<0$ と同値である（$F(t)<0$ なら上に開く二次式は異なる2実根をもち、$t$ はその間にある）。 $$\begin{aligned} c^2F(1/c) &=(a-b)^2+4-2(a+b)c+c^2\\ &=a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ca)+4. \end{aligned}$$ $c^2>0$ なので、問題の不等式は $F(1/c)<0$ と同値である。従って、指定の不等式は交点が直線の上側と下側に一つずつあるための必要十分条件である。