4神戸大学 2021年 数学 第4問解答・解説

(1) 共有点の $x$ 座標を $\alpha,\beta$ とすると、$\alpha,\beta$ は $x^2-mx-1=0$ の相異なる実数解である。実際、判別式は $m^2+4>0$ であり、$\alpha\beta=-1$ だから両方とも $0$ ではない。したがって $A=(\alpha,\alpha^2),\ B=(\beta,\beta^2)$ であり、$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\alpha\beta+\alpha^2\beta^2=-1+1=0$。両ベクトルは零ベクトルでないので直交し、$\displaystyle \angle AOB=\frac{\pi}{2}$。

(2) 原点を通る円を $x^2+y^2+ux+vy=0$ とおく。放物線上では $y=x^2$ なので、この円上にあるための条件は $x\{x^3+(v+1)x+u\}=0$ である。$\alpha,\beta\ne0$ より、$\alpha,\beta$ は $x^3+(v+1)x+u=0$ の解でもある。この三次式は $x^2$ の係数が $0$ だから、$x^2-mx-1=(x-\alpha)(x-\beta)$ を用いると $x^3+(v+1)x+u=(x^2-mx-1)(x+m)=x^3-(m^2+1)x-m$ と定まる。係数を比較して $u=-m,\ v=-m^2-2$。よって求める円は $x^2+y^2-mx-(m^2+2)y=0$。

(3) 放物線 $y=x^2$ とこの円の共有点の $x$ 座標は $x^4-(m^2+1)x^2-mx=0$、すなわち $x(x^2-mx-1)(x+m)=0$ を満たす。最初の三つの根 $0,\alpha,\beta$ はそれぞれ $O,A,B$ に対応する。残る候補は $P=(-m,m^2)$ である。$m=0$ なら $P=O$ となる。また $m\ne0$ のとき、$P$ が $A$ または $B$ と一致する条件は $-m$ が $x^2-mx-1=0$ の解となることであり、$(-m)^2-m(-m)-1=2m^2-1=0$、すなわち $\displaystyle m=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$ である。これらの場合に限り、余分な候補点も $O,A,B$ のいずれかと一致する。したがって答えは $\displaystyle m=0,\ m=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$。