IV日本医科大学 2020年 数学 第IV問解答・解説

初期時刻0で白球が3個あり，以下の規則で定まる確率に従って球の色が白から黒，または黒から白に変化するものとする。以下では，各時刻 $n$ $(n=0,1,2,3,\ldots)$ での白球の個数を $w(n)$，黒球の個数を $b(n)$ と表し $(w(n)+b(n)=3)$，また，実数 $x$ は $0<x<1$ を満たすとする。

規則1: $w(n)=3$ または $w(n)=2$ であるとき，時刻 $n$ での各白球は時刻 $n+1$ では $\displaystyle \frac{1}{3}$ の確率で黒球となり，$\displaystyle \frac{2}{3}$ の確率で白球のままである。また，時刻 $n$ での黒球は時刻 $n+1$ では確率 $x$ で白球となり，確率 $1-x$ で黒球のままである。

規則2: $w(n)=1$ であるとき，時刻 $n$ での白球は時刻 $n+1$ では $\displaystyle \frac{2}{3}$ の確率で黒球となり，$\displaystyle \frac{1}{3}$ の確率で白球のままである。また，時刻 $n$ での各黒球は時刻 $n+1$ では確率1で黒球のままである。

規則3: $w(n)=0$ であるとき，時刻 $n$ での各黒球は時刻 $n+1$ では確率1で黒球のままである。

各時刻 $n$ $(n=0,1,2,3,\ldots)$ に対して，$w(n)=3$ である確率を $p_{n}$，$w(n)=2$ である確率を $q_{n}$，$w(n)=1$ である確率を $r_{n}$ とする。このとき，以下の各問いに答えよ。

問1 $p_{1},q_{1}$ をそれぞれ求めよ。答えのみでよい。

問2 次の連立漸化式が成り立つように，$\boxed{\text{ア}}$～$\boxed{\text{エ}}$ に適する，$n$ に無関係な数または式を解答欄に記入せよ。導出過程についても説明せよ。 $$\left\{\begin{aligned} p_{n+1}&=\boxed{\text{ア}}p_{n}+\boxed{\text{イ}}q_{n},\\ q_{n+1}&=\boxed{\text{ウ}}p_{n}+\boxed{\text{エ}}q_{n} \end{aligned}\right.\qquad(n=0,1,2,3,\ldots)$$

問3 次の連立漸化式が成り立つような実数 $\alpha,\beta$（ただし，$\alpha<\beta$）の組を求め，$x$ を用いて表せ。答えのみでよい。 $$\left\{\begin{aligned} p_{n+2}-(\alpha+\beta)p_{n+1}+\alpha\beta p_{n}&=0,\\ q_{n+2}-(\alpha+\beta)q_{n+1}+\alpha\beta q_{n}&=0 \end{aligned}\right.\qquad(n=0,1,2,3,\ldots)$$

問4 数列 $\{p_{n}\},\{q_{n}\}$ の一般項を関数 $F(x),G(x),H(x),I(x)$ を用いて $$\left\{\begin{aligned} p_{n}&=F(x)\alpha^{n}+G(x)\beta^{n},\\ q_{n}&=H(x)\alpha^{n}+I(x)\beta^{n} \end{aligned}\right.\qquad(n=0,1,2,3,\ldots)$$ と表したとき，$F(x),G(x),H(x),I(x)$ を $x$ の関数としてそれぞれ具体的に求めよ。答えのみでよい。

問5 極限 $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{r_{n}}{q_{n}}$ が存在し，かつ $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{r_{n}}{q_{n}}<1$ が成り立つための $x$ に対する必要十分条件を求めよ。