I日本医科大学 2020年 数学 第I問解答・解説

まず、$f(x)=3ax^2+2x+b$ の積分条件から $$\displaystyle 0=\int_{-1}^{1}f(x)\,dx=2a+2b$$ となるので、$b=-a$ である。したがって $$f(x)=a(3x^2-1)+2x.$$ 第1項は偶関数、第2項は奇関数だから、積の交差項の積分は0である。また $$\displaystyle \int_{-1}^{1}(3x^2-1)^2\,dx=\frac85,\qquad \int_{-1}^{1}4x^2\,dx=\frac83.$$ よって第2条件は $$\displaystyle 6=\int_{-1}^{1}f(x)^2\,dx=\frac85a^2+\frac83,$$ すなわち $a^2=25/12$ となる。$a>0$ より $$\displaystyle a=\frac{5\sqrt3}{6},\qquad b=-\frac{5\sqrt3}{6}.$$ したがって $\boxed{\text{ア}}=5,\ \boxed{\text{イ}}=3,\ \boxed{\text{ウ}}=6,\ \boxed{\text{エ}}=5,\ \boxed{\text{オ}}=3,\ \boxed{\text{カ}}=6$ である。

次に、指定された積分値を求める。 $$\displaystyle \int_0^1\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)\,dx =\left[\frac2\pi\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)\right]_0^1=\frac2\pi,$$ より $\boxed{\text{キ}}=2$。また $\cos^2 t=(1+\cos 2t)/2$ を使うと $$\displaystyle \int_0^1\cos^2\left(\frac{\pi x}{2}\right)\,dx =\frac12\int_0^1(1+\cos\pi x)\,dx=\frac12,$$ より $\boxed{\text{ク}}=1,\ \boxed{\text{ケ}}=2$。

$k=\pi/2$ とおき、部分積分を2回用いると $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^1x^2\cos(kx)\,dx &=\left[\frac{x^2\sin(kx)}{k}\right]_0^1-\frac2k\int_0^1x\sin(kx)\,dx,\\ \int_0^1x\sin(kx)\,dx &=\left[-\frac{x\cos(kx)}{k}+\frac{\sin(kx)}{k^2}\right]_0^1=\frac1{k^2}. \end{aligned}$$ ここで $\sin k=1,\cos k=0$ だから $$\displaystyle \int_0^1x^2\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)\,dx =\frac1k-\frac2{k^3}=\frac2\pi-\frac{16}{\pi^3}.$$ よって $\boxed{\text{コ}}=2,\ \boxed{\text{サ}}=16,\ \boxed{\text{シ}}=3$ である。

最後に $$\displaystyle g(x)=\frac\pi2\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right),\qquad I(p,q)=\int_{-1}^{1}\{g(x)-(pf(x)+q)\}^2\,dx$$ とおく。すでに $\displaystyle \int f=0$、$\displaystyle \int f^2=6$ を得ている。さらに $g$ は偶関数で、$f$ の奇関数部分は $2x$ なので、$fg$ の積分ではこの奇関数部分の寄与は0である。積分を展開すると $$\displaystyle I(p,q)=\int_{-1}^{1}g^2\,dx-2p\int_{-1}^{1}fg\,dx-2q\int_{-1}^{1}g\,dx+6p^2+2q^2.$$ $\displaystyle C=\int_{-1}^{1}fg\,dx$、$\displaystyle G=\int_{-1}^{1}g\,dx$ とおくと $$\displaystyle I(p,q)=6\left(p-\frac{C}{6}\right)^2+2\left(q-\frac{G}{2}\right)^2+\int_{-1}^{1}g^2\,dx-\frac{C^2}{6}-\frac{G^2}{2}.$$ 前の2項の係数は正なので、ただ1つの最小点は $$\displaystyle p=\frac16\int_{-1}^{1}f(x)g(x)\,dx,\qquad q=\frac12\int_{-1}^{1}g(x)\,dx$$ である。

偶奇性と先の積分値より $$\displaystyle \int_{-1}^{1}g(x)\,dx=2,$$ また $$\displaystyle \begin{aligned} \int_{-1}^{1}f(x)g(x)\,dx &=3a\int_{-1}^{1}x^2g(x)\,dx+b\int_{-1}^{1}g(x)\,dx\\ &=3a\left(2-\frac{16}{\pi^2}\right)+2b =a\left(4-\frac{48}{\pi^2}\right), \end{aligned}$$ ただし $b=-a$、$a=5\sqrt3/6$ を用いた。よって $$\displaystyle q=1,\qquad p=\frac{a}{6}\left(4-\frac{48}{\pi^2}\right) =\frac{5\sqrt3}{9}-\frac{20\sqrt3}{3\pi^2}.$$ したがって残りの欄は $$\boxed{\text{ス}}=5,\ \boxed{\text{セ}}=3,\ \boxed{\text{ソ}}=9,\ \boxed{\text{タ}}=20,\ \boxed{\text{チ}}=3,\ \boxed{\text{ツ}}=3,\ \boxed{\text{テ}}=2,\ \boxed{\text{ト}}=1.$$