2聖マリアンナ医科大学 2021年 数学 第2問解答・解説

聖マリアンナ医科大学 2021 問題2

$f(x)=1/(1+x)$、$g(x)=1-x+x^2$ とする。

(1)

$h(x)=g(x)-f(x)$ とおくと

$$\displaystyle \begin{aligned} h'(x) &=-1+2x+\frac{1}{(1+x)^2}\\ &=\frac{x^2(2x+3)}{(1+x)^2}. \end{aligned}$$

したがって $h'(x)=0$ の解は $x=0$ または $x=-3/2$ であり、$x>0$ では $h'(x)>0$。また $h(0)=g(0)-f(0)=1-1=0$ なので、$x>0$ で $h(x)>0$、すなわち $g(x)>f(x)$。積分して

$$\displaystyle \int_0^{1/2}f(x)\,dx < \int_0^{1/2}g(x)\,dx = \left[x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}\right]_0^{1/2} =\frac{5}{12}.$$

よって $\text{カ}=x^2(2x+3)$、$\text{キ}=-3/2$、$\text{ク}=0$、$\text{ケ}=5/12$。

(2)

$b=1/(1+a)$ だから $a=(1-b)/b$。$x=a$ における接線は

$$\begin{aligned} k(x)&=f(a)+f'(a)(x-a)\\ &=b-b^2(x-a)\\ &=b(2-b-bx). \end{aligned}$$

また $b=1/(1+a)$ を用いて差を計算すると

$$\displaystyle f(x)-k(x) =\frac{1}{1+x}-b+b^2(x-a) =\frac{(x-a)^2}{(1+x)(1+a)^2}\ge0 \qquad (x\ge0).$$

特に $0\le x\le1/2$ で $f(x)\ge k(x)$ だから

$$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^{1/2} f(x)\,dx &\ge\int_0^{1/2} b(2-b-bx)\,dx\\ &=b\left(\frac{2-b}{2}-\frac{b}{8}\right) =b\left(1-\frac58b\right). \end{aligned}$$

よって $\text{コ}=2-b-bx$、$\text{サ}=-5/8$、$\text{シ}=1$。

(3)

$0\le a\le1/2$ で $b=1/(1+a)$ は減少するため

$$\displaystyle \frac23\le b\le1.$$

右辺 $\displaystyle b(1-\frac58b)$ は

$$\displaystyle b-\frac58b^2 =\frac25-\frac58\left(b-\frac45\right)^2 \le\frac25.$$

頂点 $b=4/5$ は$2/3\le b\le1$ を満たすので最大値は $2/5$。したがって $\text{ス}=2/3$、$\text{セ}=1$、$\text{ソ}=2/5$ である。以上をまとめると

$$\displaystyle \boxed{\frac25\le \int_0^{1/2}\frac{1}{1+x}\,dx<\frac{5}{12}}.$$

最終結果・解法・確認事項

- (1)：$\text{カ}=x^2(2x+3),\ \text{キ}=-3/2,\ \text{ク}=0,\ \text{ケ}=5/12$。 - (2)：$\text{コ}=2-b-bx,\ \text{サ}=-5/8,\ \text{シ}=1$。 - (3)：$\text{ス}=2/3,\ \text{セ}=1,\ \text{ソ}=2/5$。 - 積分の評価：$\displaystyle\frac25\le\int_0^{1/2}\frac{1}{1+x}\,dx<\frac{5}{12}$。 - 解法：導関数の符号、接線の式と差の平方、二次関数の平方完成。 - 定義域：分母 $1+x$ は積分区間上で正。問2では $b=1/(1+a)>0$ を用いた。 - issues：なし。