4聖マリアンナ医科大学 2021年 数学 第4問解答・解説

聖マリアンナ医科大学 2021 問題4

$x,y$ は整数で、元の式が定義されるため $x\ne0,\ y\ne0$ とする。$X=x-m,\ Y=y-m$ とおくと、元の等式に $mxy$ を掛けて

$$m(x+y)=xy$$

を得る。従って

$$XY=(x-m)(y-m)=xy-m(x+y)+m^2=m^2.$$

逆に $XY=m^2$ から $x=X+m,\ y=Y+m$ と置けば、$xy=m(x+y)$ となる。ただし $x=0$ なら $X=-m$ であり、$XY=m^2$ から $Y=-m$、従って $y=0$ でもある。よって因数の組 $(X,Y)=(-m,-m)$ だけが元の分数式では不適格であり、それ以外は元の式の整数解と一対一に対応する。

(1)

$m=3$ のとき $XY=9$。正の整数の因数対は

$$(1,9),\ (3,3),\ (9,1)$$

の3組であり、負の因数対も

$$(-1,-9),\ (-3,-3),\ (-9,-1)$$

の3組である。このうち $(-3,-3)$ は $x=y=0$ に対応し、元の式では除く。従って

$$\boxed{n(A_3)=5}.$$

(2)

$XY=m^2$ なので、$X$ は $m^2$ の正または負の約数に限られ、各 $X$ に対し $Y=m^2/X$ は一意に定まる。約数は有限個であり、不適格な一組を除いても有限だから

$$\boxed{n(A_m)\text{ は有限}}.$$

(3)

$m^2$ の正の約数の個数を $D$ とする。$XY=m^2$ の整数順序対は、両方正のものが $D$ 組、両方負のものも $D$ 組で、符号が異なるものはない。したがって不適格な一組を除いた個数は

$$n(A_m)=2D-1,$$

ゆえに奇数である。

(4)

$$m=p_1^{e_1}p_2^{e_2}p_3^{e_3}$$

で $p_1,p_2,p_3$ は相異なる素数だから

$$m^2=p_1^{2e_1}p_2^{2e_2}p_3^{2e_3}.$$

正の約数では、各素数の指数を $0$ から $2e_i$ まで選べる。よって

$$D=(2e_1+1)(2e_2+1)(2e_3+1).$$

(3) の個数から不適格な一組を1つ除けば

$$\boxed{n(A_m)=2(2e_1+1)(2e_2+1)(2e_3+1)-1}.$$

最終結果・解法・確認事項

- (1)：$XY=m^2$、$n(A_3)=5$。 - (2)：$n(A_m)$ は有限。 - (3)：$n(A_m)=2D-1$（$D$ は $m^2$ の正の約数の個数）なので奇数。 - (4)：$\displaystyle n(A_m)=2(2e_1+1)(2e_2+1)(2e_3+1)-1$。 - 解法：変数の平行移動で積の条件に直し、整数の約数と指数の選び方を数える。 - 定義域：元の式では $x,y\ne0$。積の条件に移すとき、$(X,Y)=(-m,-m)$ に対応する $(x,y)=(0,0)$ を除外した。 - issues：なし。