3聖マリアンナ医科大学 2021年 数学 第3問解答・解説

聖マリアンナ医科大学 2021 問題3

10人の合計得点は $10\cdot75=750$ 点である。度数の合計と得点合計から

$$2a+b+c+d=8, \qquad 16a+7b+8c+9d=66.$$

第1式の7倍を第2式から引くと

$$2a+c+2d=10.$$

従って

$$b=d-2,\qquad c=10-2a-2d.$$

(1)

$a=2$ を代入すると $c+2d=6$、また $b=d-2$。$b,c,d$ は0以上の整数だから、$b\ge0$ より $d\ge2$、$c\ge0$ より $d\le3$。したがって

$$\boxed{d=2\text{ または }3}.$$

実際、$d=2$ なら $(b,c)=(0,2)$、$d=3$ なら $(b,c)=(1,0)$ となり、どちらも条件を満たす。

(2)、(3)

二乗得点の合計を $S_2$ とする。度数表から

$$\begin{aligned} S_2 &=40^2+50^2+60^2a+70^2b+80^2c+90^2d+100^2a\\ &=4100+13600a+4900b+6400c+8100d\\ &=58300+800a+200d, \end{aligned}$$

最後の等式では $b=d-2$、$c=10-2a-2d$ を代入した。分散は $S_2/10-75^2$ なので、$S_2$ を最大・最小にすればよい。

非負条件 $b\ge0,c\ge0$ から

$$d\ge2,\qquad d\le5-a,$$

従って $0\le a\le3$。

最大については

$$S_2=58300+800a+200d \le58300+800a+200(5-a) =59300+600a \le61100.$$

等号は $a=3,d=2$ で成り立ち、このとき $b=0,c=0$。よって分散最大となる組は

$$\boxed{(a,b,c,d)=(3,0,0,2)}.$$

最小については $a\ge0,d\ge2$ より

$$S_2=58300+800a+200d\ge58700.$$

等号は $a=0,d=2$ で成り立ち、このとき $b=0,c=6$。よって分散最小となる組は

$$\boxed{(a,b,c,d)=(0,0,6,2)}.$$

最終結果・解法・確認事項

- (1)：可能な $d$ は $2,3$。 - (2)：分散最大は $(a,b,c,d)=(3,0,0,2)$。 - (3)：分散最小は $(a,b,c,d)=(0,0,6,2)$。 - 解法：度数の合計と平均点から線形条件を作り、二乗得点和を一次式に変形して端で評価。 - 定義域：$a,b,c,d$ は0以上の整数。制約から $2\le d\le5-a$、$0\le a\le3$。 - issues：なし。