3旭川医科大学 2022年 数学 第3問解答・解説

$$\displaystyle \text{問1 (1) }4\text{の倍数は}\lfloor30/4\rfloor=7\text{個、}\,6\text{の倍数は}\lfloor30/6\rfloor=5\text{個であり、重複する}\,12\text{の倍数は}\lfloor30/12\rfloor=2\text{個。}\ 7+5-2=10.\quad\\\text{(2) 偶数は}\lfloor30/2\rfloor=15\text{個。}\ 4\text{または}\,6\text{の倍数である偶数は}\,7+5-2=10\text{個なので、求める個数は}\,15-10=5.\\\text{問2 (1) }1\text{から}\,30\text{までの}\,12\text{の倍数は}\,12,24\text{の}\,2\text{個。全組合せから、どちらも}\,12\text{の倍数でない組を引くと}\ \binom{30}{2}-\binom{28}{2}=435-378=57\text{通り。}\\\text{(2) 積が}\,12\text{の倍数であるには、積が}\,4\text{の倍数かつ}\,3\text{の倍数であればよい。全組合せは}\,\binom{30}{2}=435\text{通り。}\ A\text{を積が}\,4\text{の倍数でない組、}\ B\text{を積が}\,3\text{の倍数でない組とする。積が}\,4\text{の倍数でないのは、奇数どうし、または奇数と}\,2\pmod4\text{の数の組である。奇数は}\,15\text{個、}\,2\pmod4\text{の数は}\,8\text{個だから}\ |A|=\binom{15}{2}+15\cdot8=225.\text{また、}\,3\text{の倍数でない数は}\,20\text{個なので}\ |B|=\binom{20}{2}=190.\\\text{両方の条件を満たす組}\ A\cap B\text{では、奇数かつ}\,3\text{の倍数でない数が}\,10\text{個、}\,2\pmod4\text{かつ}\,3\text{の倍数でない数が}\,5\text{個。よって}\ |A\cap B|=\binom{10}{2}+10\cdot5=95.\text{したがって余事象を包除して}\ 435-|A\cup B|=435-(225+190-95)=115\text{通り。}$$