2旭川医科大学 2022年 数学 第2問解答・解説

問1では区間幅を $h=1/n$ とすると、各 $k=0,\ldots,n-1$ について $$\displaystyle \int_{kh}^{kh+h/2}x^2dx=h^3\left(\frac{k^2}{2}+\frac{k}{4}+\frac1{24}\right),\quad \int_{kh}^{kh+h/2}x\,dx=h^2\left(\frac{k}{2}+\frac18\right),\quad \int_{kh}^{kh+h/2}1\,dx=\frac h2.$$ $\displaystyle \sum k=n(n-1)/2$, $\displaystyle \sum k^2=n(n-1)(2n-1)/6$ を用いると $$\displaystyle \sum\limits _{k=0}^{n-1}\int_{k/n}^{k/n+1/(2n)}x^2dx=\frac{4n-3}{24n},\qquad \sum\limits _{k=0}^{n-1}\int_{k/n}^{k/n+1/(2n)}x\,dx=\frac{2n-1}{8n}.$$ 従って $$\displaystyle g_n=a\frac{4n-3}{24n}+b\frac{2n-1}{8n}+\frac c2.$$

問2では $$\displaystyle \begin{aligned} g_n&=\frac{e^{\alpha/(2n)}-1}{\alpha}\sum\limits _{k=0}^{n-1}e^{\alpha k/n}\\ &=\frac{e^{\alpha/(2n)}-1}{\alpha}\cdot\frac{e^\alpha-1}{e^{\alpha/n}-1} =\frac{e^\alpha-1}{\alpha(1+e^{\alpha/(2n)})}. \end{aligned}$$

問3では各項の線形性と問1・問2の結果から $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}g_n=p\frac{e^\alpha-1}{2\alpha}+q\frac{e^\beta-1}{2\beta}+\frac a6+\frac b4+\frac c2.$$ 一方、 $$\displaystyle I=\int_0^1f(x)dx=p\frac{e^\alpha-1}{\alpha}+q\frac{e^\beta-1}{\beta}+\frac a3+\frac b2+c.$$ したがって $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}g_n=\frac I2.$$