1旭川医科大学 2022年 数学 第1問解答・解説

$\overrightarrow{OA}=\mathbf a$, $\overrightarrow{OB}=\mathbf b$ とおく。辺の長さより $$|\mathbf a|=1,\qquad |\mathbf b|=\sqrt2,\qquad |\mathbf b-\mathbf a|=\sqrt3.$$ したがって $$|\mathbf b-\mathbf a|^2=|\mathbf a|^2+|\mathbf b|^2-2\mathbf a\cdot\mathbf b$$ に代入すると $3=1+2-2\mathbf a\cdot\mathbf b$ だから $\mathbf a\cdot\mathbf b=0$、すなわち $OA\perp OB$ である。また $AL:LB=1:2$ より $$\displaystyle \overrightarrow{OL}=\frac{2\mathbf a+\mathbf b}{3}.$$

問1　 $$\displaystyle \overrightarrow{LP}=\left(m-\frac23\right)\mathbf a-\frac13\mathbf b, \qquad \overrightarrow{LQ}=-\frac23\mathbf a+\left(n-\frac13\right)\mathbf b.$$ $\displaystyle \angle PLQ=\frac\pi2$ なので $\overrightarrow{LP}\cdot\overrightarrow{LQ}=0$ である。$\mathbf a\cdot\mathbf b=0$, $|\mathbf a|^2=1$, $|\mathbf b|^2=2$ を用いると $$\displaystyle 0=-\frac23\left(m-\frac23\right)-\frac23\left(n-\frac13\right) =-\frac23(m+n)+\frac23.$$ よって $$\boxed{m+n=1}.$$

問2　 $D=1-mn$ とおく。$0<m,n<1$ だから $D>0$ である。$R$ は直線 $AQ$ 上にあるので、ある実数 $t$ を用いて $$\overrightarrow{OR}=(1-t)\mathbf a+tn\mathbf b$$ と表せる。また $R$ は直線 $BP$ 上にもあるので、ある実数 $s$ を用いて $$\overrightarrow{OR}=sm\mathbf a+(1-s)\mathbf b$$ とも表せる。$\mathbf a,\mathbf b$ は垂直な零でないベクトルだから係数を比較でき、 $$1-t=sm,\qquad tn=1-s.$$ 第2式から $s=1-tn$ を第1式に代入して $$\displaystyle 1-m=t(1-mn),\qquad t=\frac{1-m}{1-mn}=\frac{n}{D},$$ ただし $m+n=1$ を用いた。したがって $$\displaystyle 1-t=\frac{D-n}{D}=\frac{m^2}{D},\qquad tn=\frac{n^2}{D}.$$ ゆえに $$\displaystyle \boxed{\overrightarrow{OR}=\frac{m^2}{m^2-m+1}\overrightarrow{OA} +\frac{(1-m)^2}{m^2-m+1}\overrightarrow{OB}}, \qquad (n=1-m).$$

問3　 問2より、$\mathbf a,\mathbf b$ に関する $R$ の係数を $$\displaystyle x=\frac{m^2}{D},\qquad y=\frac{n^2}{D}$$ とおくと $\overrightarrow{OR}=x\mathbf a+y\mathbf b$ である。$m,n>0$ なので $x,y>0$ であり、 $$\displaystyle \frac{x}{m}+\frac{y}{n}=\frac{m+n}{D}=\frac1{1-mn}>1.$$ 直線 $PQ$ 上の点の係数 $(X,Y)$ は $X/m+Y/n=1$ を満たすため、$R$ は直線 $PQ$ のうち $O$ と反対側にある。従って、四角形 $OPRQ$ の面積から直角三角形 $OPQ$ の面積を引けば $\triangle PRQ$ の面積になる。

$OA\perp OB$ であることから、各三角形の面積は底辺と高さを使って $$\displaystyle [OPR]=\frac{\sqrt2}{2}my,\qquad [ORQ]=\frac{\sqrt2}{2}nx,\qquad [OPQ]=\frac{\sqrt2}{2}mn$$ となる。よって $$\displaystyle S=[OPR]+[ORQ]-[OPQ] =\frac{\sqrt2}{2}(my+nx-mn).$$ ここで $m+n=1$, $D=1-mn$ より $$\displaystyle my+nx=\frac{mn^2+nm^2}{D}=\frac{mn(m+n)}D=\frac{mn}{D},$$ したがって $$\displaystyle S=\frac{\sqrt2}{2}\,\frac{m^2n^2}{1-mn}.$$ $u=mn=m(1-m)$ とおくと、$0<m<1$ より $\displaystyle 0<u\le\frac14$ であり、等号は $\displaystyle m=n=\frac12$ のときに成り立つ。さらに $\displaystyle 0<u<v\le\frac14$ なら $$\displaystyle \frac{v^2}{1-v}-\frac{u^2}{1-u} =\frac{(v-u)(u+v-uv)}{(1-u)(1-v)}>0$$ であるから $u^2/(1-u)$ はこの範囲で増加する。$u$ は $0$ に限りなく近づけるが $0$ にはならず、最大値 $1/4$ は実際にとるので $$\displaystyle \lim\limits _{u\to0+}S=0,\qquad S_{\max}=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{(1/4)^2}{1-1/4} =\frac{\sqrt2}{24}.$$ 従って求める範囲は $$\displaystyle \boxed{0<S\le\frac{\sqrt2}{24}}.$$