2岐阜大学 2026年 数学 第2問解答・解説

(1) $\vec{a}=(0,-1,1)$、$\vec{b}=(1,1,0)$ より $$\vec{a}\cdot\vec{b}=0\cdot1+(-1)\cdot1+1\cdot0=-1.$$

(2) $|\vec{a}|=|\vec{b}|=\sqrt2$。$\vec{a},\vec{b}$ のなす角を$\theta$とすると $$\displaystyle \cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=-\frac12, \qquad \sin\theta=\frac{\sqrt3}{2}.$$ よって$\displaystyle [\triangle OAB]=\frac12|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta=\frac{\sqrt3}{2}$。

(3) $AP:PB=s:(1-s)$ より$\overrightarrow{OP}=(1-s)\vec{a}+s\vec{b}$。また$OQ:QP=1:2$なので $$\displaystyle \overrightarrow{OQ}=\frac13\overrightarrow{OP}=\frac{1-s}{3}\vec{a}+\frac{s}{3}\vec{b}.$$

(4) $\displaystyle \overrightarrow{OQ}=\vec{q}=\left(\frac{s}{3},\frac{2s-1}{3},\frac{1-s}{3}\right)$、$\overrightarrow{RQ}=\vec{q}-r(1,1,1)$ だから条件は $$|\vec{q}|^2-r(q_x+q_y+q_z)=0.$$ ここで $$\displaystyle q_x+q_y+q_z=\frac{2s}{3}, \qquad |\vec{q}|^2=\frac{s^2+(2s-1)^2+(1-s)^2}{9}=\frac{6s^2-6s+2}{9}.$$ $s>0$ より $$\displaystyle r=\frac{|\vec{q}|^2}{2s/3}=\frac{3s^2-3s+1}{3s}=s-1+\frac{1}{3s}.$$

(5) $s>0$ なので相加相乗平均より $$\displaystyle s+\frac{1}{3s}\ge2\sqrt{\frac13}=\frac{2}{\sqrt3}.$$ 等号は$\displaystyle s=\frac{1}{\sqrt3}$ のときに成立し、この値は$0<s<1$を満たす。したがって$r$の最小値は $$\displaystyle \boxed{\frac{2}{\sqrt3}-1}.$$