岐阜大学 2026年数学第1問解答・解説

1問題

岐阜大学2026年度第1問

袋に1から5までの整数が1つずつ書かれた5つの玉①、②、③、④、⑤が入っている。このとき以下の手順で得点を決める。

(i) この袋から玉を1つ取り出す。その玉に書かれた数を $a_1$ とする。

(ii) 取り出した玉を戻さずに、袋から玉を再び取り出す。このとき玉に書かれた数を $a_2$ とする。

(iii) 袋の中の玉がなくなるまで同様に取り出し、出た玉に書かれた数を順に $a_3$ 、 $a_4$ 、 $a_5$ とする。

(iv) $k$ を1から4の整数とする。すべての $k$ について $a_k<a_{k+1}$ ならば、得点を5とする。そうでない場合、 $a_k>a_{k+1}$ となる最小の $k$ を得点とする。例えば、 $a_1=1$ 、 $a_2=3$ 、 $a_3=2$ 、 $a_4=4$ 、 $a_5=5$ のとき、 $a_1<a_2$ 、 $a_2>a_3$ なので得点は2である。また、 $a_1=2$ 、 $a_2=3$ 、 $a_3=4$ 、 $a_4=5$ 、 $a_5=1$ のとき、得点は4である。以下の問に答えよ。

(1) 得点が5となる確率を求めよ。

(2) 得点が4以上となる確率を求めよ。

(3) 得点が3以上となる確率を求めよ。

(4) 得点が3となる確率を求めよ。

(5) 得点の期待値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle \begin{aligned}(1)&\;\frac{1}{120}, &(2)&\;\frac{1}{24}, &(3)&\;\frac{1}{6}, &(4)&\;\frac{1}{8}, &(5)&\;\frac{103}{60}.\end{aligned}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle \text{全ての玉は異なるので、結果は }5!=120\text{ 通りの順列で等確率である。得点を }S\text{ とする。} \text{ }S\ge r\text{ となるのは、最初の }r\text{ 個が昇順 }a_1<a_2<\cdots<a_r\text{ となるときである。} \text{最初の }r\text{ 個に使う数を選ぶと順序は昇順に定まり、残り }5-r\text{ 個は自由に並ぶから、} N(S\ge r)=\binom{5}{r}(5-r)!,\qquad P(S\ge r)=\frac{\binom{5}{r}(5-r)!}{120}. \begin{array}{c|c|c}\text{事象}&\text{該当する順列数}&\text{確率}\\\hline S\ge2&\binom52 3!=60&1/2\\S\ge3&\binom53 2!=20&1/6\\S\ge4&\binom54 1!=5&1/24\\S\ge5&\binom55 0!=1&1/120\end{array} (1)\quad P(S=5)=P(S\ge5)=\frac1{120}. (2)\quad P(S\ge4)=\frac1{24}. (3)\quad P(S\ge3)=\frac16. (4)\quad P(S=3)=P(S\ge3)-P(S\ge4)=\frac16-\frac1{24}=\frac18. \text{期待値の計算に必要な得点の確率は、} P(S=1)=1-P(S\ge2)=\frac12,\quad P(S=2)=P(S\ge2)-P(S\ge3)=\frac13, P(S=3)=\frac18,\quad P(S=4)=P(S\ge4)-P(S\ge5)=\frac1{30},\quad P(S=5)=\frac1{120}. (5)\quad E[S]=1\cdot\frac12+2\cdot\frac13+3\cdot\frac18+4\cdot\frac1{30}+5\cdot\frac1{120}=\frac{103}{60}.$

この問題で使う考え方

順列の相対順序

1問題

2答え

3解答

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