4旭川医科大学 2026年 数学 第4問解答・解説

太郎の得点は、袋Aの$\text{カード }k\text{ と袋Bのカード }\ell$ の組に対して $k^\ell$ である。各袋からの最初の抽出はそれぞれ4通りで一様だから、 $$\displaystyle E=\frac{1}{16}\sum\limits _{k=0}^{3}\sum\limits _{\ell=4}^{7} k^{\ell} =\frac{1}{16}(0+4+240+3240)=\frac{871}{4}.$$

次に、太郎と花子の抽出までの順序付き組 $(k,\ell,m,n)$ は $$4\cdot4\cdot3\cdot3=144$$ 通りで、すべて同様に確からしい。各組の後に次郎が選ぶ袋A・袋Bのカードは各2通りあり、確率を数えるとき一様な4通りの続きが付く。$T=k^\ell,\qquad H=m^n$ とおく。

$H<T/2$ を満たす $(m,n)$ の個数を $(k,\ell)$ ごとに数えると、 $$\begin{array}{c|rrrr|r} &\ell=4&5&6&7&\text{計}\\\hline k=0&0&0&0&0&0\\ k=1&0&0&0&0&0\\ k=2&6&6&6&6&24\\ k=3&8&9&9&9&35 \end{array}$$ となる。よって $$\displaystyle p_1=\frac{24+35}{144}=\frac{59}{144}.$$

同様に $T/2\le H\le T$ を満たす (m,n) の個数は $$\begin{array}{c|rrrr|r} &\ell=4&5&6&7&\text{計}\\\hline k=0&0&0&0&0&0\\ k=1&3&3&3&3&12\\ k=2&0&0&1&2&3\\ k=3&1&0&0&0&1 \end{array}$$ である。したがって $$\displaystyle p_2=\frac{12+3+1}{144}=\frac{1}{9}.$$

問4では、条件 $T/2\le H\le T$ を満たす最初の組が16通りあり、その各々に次郎の選び方が4通りずつあるので、条件を満たす全体は64通りである。この16通りのうち、$(k,\ell,m,n)=(1,\ell,m,0)$ となる12通りでは $H=1$ で、次郎の $r\text{ は }2\text{ または }3$なので $r^s<1$ は起こらない。残る4通りは $$(2,6,4,3),\ (2,7,4,3),\ (2,7,5,3),\ (3,4,7,2)$$ であり、それぞれ $H=64,\ 64,\ 125,\ 49$ である。いずれも次郎の $r\text{ は }0\text{ または }1$であり、袋Bの $s\text{ は }4\text{ 以上}$だから $r^s<H$ が次郎の4通りの選び方すべてで成り立つ。よって有利な場合は16通りで、 $$\displaystyle p_3=\frac{16}{64}=\frac{1}{4}.$$