2旭川医科大学 2026年 数学 第2問解答・解説

問1　 $f'(x)=-3x(x-2a)$ だから、f は $x\le0$ で減少、$0\le x\le2a$ で増加、$x\ge2a$ で減少する。$\displaystyle f(0)=0,\ f(2a)=4a^3,\ \lim\limits _{x\to-\infty}f(x)=\infty,\ \lim\limits _{x\to\infty}f(x)=-\infty$ である。したがって $0<b<4a^3$ では交点が3個あり、$b=0,4a^3$ では接点を含めて異なる実数解が2個、範囲外では1個である。よって $0\le b\le4a^3$.

問2　 $u=\sqrt t>0$ とおくと $\displaystyle g(t)=\frac{1}{2a}\left(u^3+\frac3u\right)$ であり、$\displaystyle u^3+\frac3u-4=\frac{(u-1)^2(u^2+2u+3)}{u}\ge0$. 等号は $u=1\ (t=1)$ のとき成立する。また $t\to0^+$ または $t\to\infty$ で $g(t)\to\infty$ だから、値域は $\displaystyle g(t)\ge\frac2a$.

問3(1)　 問1,2の条件の共通部分は $0\le b\le4a^3$ かつ $\displaystyle b\ge\frac2a$ である。したがって $\displaystyle \frac2a\le4a^3$すなわち $\displaystyle a^4\ge\frac12$. もともと $0<a\le1$ より $2^{-1/4}\le a\le1$ となり、$\displaystyle \frac2a\le b\le4a^3$.

問3(2)　 $(a,b)$ 平面で、$a=2^{-1/4}$ において $\displaystyle b=\frac2a$ と $b=4a^3$ が交わる。$2^{-1/4}\le a\le1$ の範囲で下側の境界が $\displaystyle b=\frac2a$、上側の境界が $b=4a^3$ であり、$a=1$ でそれぞれ $b=2,4$ となる。よって$\displaystyle S=\int_{2^{-1/4}}^1\left(4a^3-\frac2a\right)\,da=\left[a^4-2\ln a\right]_{2^{-1/4}}^1=1-\left(\frac12+\frac12\ln2\right)=\frac{1-\ln2}{2}$.　 問3(2)の領域図. 条件を満たす領域は $\displaystyle 2^{-1/4}\leq a\leq1,\quad \frac2a\leq b\leq4a^3$ である。 境界は $a=2^{-1/4}$ で $b=2^{5/4}$ に交わり、$a=1$ では $b=2,4$ となる。図ではこの上下の境界曲線の間を網掛けした。

問3(2)の条件を満たす $(a,b)$ の領域。