4東北大学 2021年 数学 第4問解答・解説

直線$\ell$を$y=x+c$とおく。交点の$x$座標を$p<q<a$とすれば、$p,q,a$は$x^3-3x-c=0$の根である。

(1) 根と係数の関係から$p+q+a=0$なので、$x_S=(p+q)/2=-a/2$。また$R\text{ が直線 }\ell\text{ 上にあること}$より$c=a^3-3a$であり、$S\text{ が直線 }\ell\text{ 上にあること}$より$y_S=x_S+c=a^3-7a/2$。

(2) $g(x)=x^3-3x$とすると$g'(x)=3(x^2-1)$、極大値は$g(-1)=2$、極小値は$g(1)=-2$。相異なる3交点をもつのは$-2<c<2$のときである。最大根$a$は$x>1$上の根で、$g$は$x>1$で増加する。さらに$g(1)<c<g(2)$から$1<a<2$。したがって$-1<x_S<-1/2$、$a=-2x_S$を代入して$y_S=-8x_S^3+7x_S$。

(3) 根と係数の関係から$pq+a(p+q)=-3$なので$pq=a^2-3$。よって$(q-p)^2=(p+q)^2-4pq=12-3a^2$。$d=\sqrt{12-3a^2}$とおくと$x_S-x_P=(q-p)/2=d/2$。平行線$y=x+c$間の垂直距離は$dc/\sqrt2$、また$PS$の長さは$d/\sqrt2$だから、細分した帯の面積を足し合わせると$\displaystyle A=\int_{-2}^2(d/2)\,dc$。ここで$c=a^3-3a$、$dc=3(a^2-1)da$より $$\displaystyle A=\frac{3\sqrt3}{2}\int_1^2(a^2-1)\sqrt{4-a^2}\,da.$$ $a=2\sin\theta$と置換すれば$\pi/6\leq\theta\leq\pi/2$であり、 $$\displaystyle \int_1^2(a^2-1)\sqrt{4-a^2}\,da=\int_{\pi/6}^{\pi/2}4(4\sin^2\theta-1)\cos^2\theta\,d\theta=\left[-\frac12\sin4\theta-\sin2\theta\right]_{\pi/6}^{\pi/2}=\frac{3\sqrt3}{4}.$$ ゆえに$A=27/8$。