東北大学 2021年数学第2問解答・解説

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1問題

東北大学2021年度第2問

$a, b$ を $0 < a < 1, 0 < b < 1$ を満たす実数とする。平面上の三角形 ABC を考え，辺 AB を $a:1-a$ に内分する点を P，辺 BC を $b:1-b$ に内分する点を Q，辺 CA の中点を R とし，三角形 ABC の面積を S，三角形 PQR の面積を T とする。

(1) $\displaystyle \frac{T}{S}$ を a, b で表せ。

(2) a, b が $\displaystyle 0 < a < \frac{1}{2}$ , $\displaystyle 0 < b < \frac{1}{2}$ の範囲を動くとき, $\displaystyle \frac{T}{S}$ がとりうる値の範囲を求めよ。

(3) p, q を 3 以上の整数とし, $\displaystyle a = \frac{1}{p}$ , $\displaystyle b = \frac{1}{q}$ とする。 $\displaystyle \frac{T}{S}$ の逆数 $\displaystyle \frac{S}{T}$ が整数となるような p, q の組 $(p, q)$ をすべて求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle \quad \dfrac TS=\dfrac{1-a-b+2ab}{2}\quad$ 。 (2) 値域は $\displaystyle \quad \left(\dfrac14,\dfrac12\right)\quad$ 。 (3) $\quad (p,q)=(4,6),(6,4)\quad$ .

3解答

解答を見る途中式つきの解答

三角形 $ABC$ は $APR,BPQ,CQR,PQR$ に分割される。

(1) $AP/AB=a$ , $BP/BA=1-a$ , $BQ/BC=b$ 、 $R$ は $CA$ の中点である。従って $[APR]/S=a/2,\quad [BPQ]/S=(1-a)b,\quad [CQR]/S=(1-b)/2.$ 残りの面積より $T/S=1-a/2-(1-a)b-(1-b)/2=(1-a-b+2ab)/2$ 。

(2) $T/S-1/4=(1-2a)(1-2b)/4>0,\quad 1/2-T/S=(a(1-b)+b(1-a))/2>0.$ さらに $a=b=t$ ( $0<t<1/2$ ) とおくと $T/S=t^2-t+1/2$ 。 $0<t_1<t_2<1/2$ なら差は $(t_2-t_1)(t_1+t_2-1)<0$ 。従って連続であり、 $t$ が増えると値が必ず小さくなるので、端の極限が $1/2,1/4$ であることから値域は $1/4<T/S<1/2$ 。

(3) $a=1/p,b=1/q$ 、 $m=p-1,n=q-1$ とおく。 $m,n\ge2$ で $\displaystyle S/T=2+\frac{2(m+n)}{mn+1}.$ $(mn+1)-(m+n)=(m-1)(n-1)>0$ だから最後の項は0より大きく2より小さい。整数となるにはこの項が1であり、これは $(m-2)(n-2)=3$ と同値。従って $(m,n)=(3,5),(5,3)$ 、すなわち $(p,q)=(4,6),(6,4)$ 。

この問題で使う考え方

三角形分割と面積比の積
厳密不等式と一変数化
因数分解による整数組の分類

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