6東北大学 2021年 数学 第6問解答・解説

$\displaystyle I_n(a)=\int_0^a\frac{(a-x)^n}{n!}e^x\,dx\text{ とおく。}$ $\text{(1) }I_0(a)=e^a-1\text{ である。また }n\geq1\text{ に対し、部分積分をすると}$ $$\displaystyle \begin{aligned} I_n(a)&=\left[\frac{(a-x)^n}{n!}e^x\right]_0^a+\int_0^a\frac{(a-x)^{n-1}}{(n-1)!}e^x\,dx\\ &=I_{n-1}(a)-\frac{a^n}{n!}. \end{aligned}$$ $\displaystyle \text{これを繰り返すと }I_n(a)=e^a-\sum\limits _{k=0}^n\frac{a^k}{k!}\text{ となり、求める等式を得る。}$

$\displaystyle \text{(2) }0\leq x\leq a\text{ では }1\leq e^x\leq e^a\text{ であり、 }\frac{(a-x)^n}{n!}\geq0\text{ だから、}$ $$\displaystyle \int_0^a\frac{(a-x)^n}{n!}\,dx\leq I_n(a)\leq e^a\int_0^a\frac{(a-x)^n}{n!}\,dx.$$ $$\displaystyle \int_0^a\frac{(a-x)^n}{n!}\,dx=\frac{a^{n+1}}{(n+1)!}$$ $\text{より、示す不等式が成り立つ。}$

$\displaystyle \text{(3) }R_n=e-\sum\limits _{k=0}^n\frac1{k!}=I_n(1)>0\text{ とおく。(2) より}$ $$\displaystyle \frac1{(n+1)!}\leq R_n\leq\frac{e}{(n+1)!}.$$ $\displaystyle \text{また }R_n=R_{n+1}+\frac1{(n+1)!}\text{ なので、}R_n\text{ は }n\text{ とともに減少する。したがって}$ $$\displaystyle R_5\geq\frac1{6!}=\frac1{720}>10^{-3}.$$ $\text{よって }n\leq5\text{ は条件を満たさない。一方、}e<3\text{ より}$ $$\displaystyle R_6\leq\frac{e}{7!}<\frac3{5040}=\frac1{1680}<10^{-3}.$$ $\text{よって条件を満たす最小の正の整数は }n=6\text{ である。}$

積分部分を I_n(a) と置いて部分積分の漸化式を反復する。次に 1≦e^x≦e^a を非負の核に掛けて剰余の上下界を得る。a=1では剰余が正で、n=5の下界とn=6の上界を比較し、n<5もn=5より大きいことを示す。