筑波大学 2021年数学第4問解答・解説

いろいろな式指数関数・対数関数微分法積分法

このページには広告が含まれます。

1問題

筑波大学2021年度第4問

p, q を定数とし, 0 < p < 1 とする。

曲線 $\displaystyle C_{1}: y = px^{\frac{1}{p}} (x > 0)$ と,

曲線 $C_2:y = \log x + q(x > 0)$

が, ある1点 $(a,b)$ において同じ直線に接するとする。曲線 $C_{1}$ , 直線x=a, 直線 $x=e^{-q}$ およびx軸で囲まれた図形の面積を $S_{1}$ とする。また, 曲線 $C_{2}$ , 直線x=aおよびx軸で囲まれた図形の面積を $S_{2}$ とする。

(1) q を p を用いて表せ。

(2) $S_{1}$ , $S_{2}$ を p を用いて表せ。

(3) $\displaystyle \frac{S_{2}}{S_{1}} \geq \frac{3}{4}$ であることを示せ。ただし, 2.5 < e < 3 を用いてよい。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\quad q=p\quad$ 。 (2) $\displaystyle \quad S_1=\frac{p^2}{p+1}(1-e^{-(p+1)}),\space{}S_2=e^{-p}+p-1\quad$ 。 (3) $\quad S_2/S_1>3/4\quad$ （従って原文の $\quad \ge3/4\quad$ ）。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

接点のx座標をaとすると $C_1'(a)=a^{1/p-1}$ 、 $C_2'(a)=1/a$ 。傾き一致より $a^{1/p}=1$ 、従って $a=1$ 、関数値一致から $q=p$ 。 $C_2$ のx切片は $e^{-p}$ なので $\displaystyle S_1=\int_{e^{-p}}^1px^{1/p}\,dx=\frac{p^2}{p+1}(1-e^{-(p+1)}),\qquad S_2=\int_{e^{-p}}^1(\log x+p)\,dx=e^{-p}+p-1.$ (3) $\displaystyle \phi(p)=\log\frac{2+p}{2-p}-p$ とおけば $\phi(0)=0$ 、 $\phi'(p)=p^2/(4-p^2)\ge0$ より $e^{-p}\ge(2-p)/(2+p)$ 。示すべき差と同値な $\displaystyle F=4(p+1)S_2-3(p+1)S_1=e^{-p}\left(4(p+1)+\frac{3p^2}{e}\right)+p^2-4$ を考える。代入して整理すると $\displaystyle (p+2)F\ge p^2\left[\left(1-\frac3e\right)p+\frac6e-2\right].$ 角括弧は $0<p<1$ と $e<3$ より $3/e-1>0$ より大きい。よって $F>0$ 、すなわち $S_2/S_1>3/4$ 。

この問題で使う考え方

接線条件
定積分による面積
補助関数で指数評価

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。