筑波大学 2021年数学第3問解答・解説

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1問題

筑波大学2021年度第3問

Oを原点とする座標空間において, 3点A(-2,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1)を通る平面をαとする。2点P(0,5,5), Q(1,1,1)をとる。点Pを通り $\overrightarrow{OQ}$ に平行な直線をlとする。直線l上の点Rから平面αに下ろした垂線とαの交点をSとする。 $\overrightarrow{OR} = \overrightarrow{OP} + k\overrightarrow{OQ}$ (ただしkは実数)とおくとき, 以下の問いに答えよ。

(1) k を用いて, $\overrightarrow{AS}$ を成分で表せ。

(2) 点 S が $\triangle ABC$ の内部または周にあるような k の値の範囲を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(1) ((4k+12)/3, (k+3)/3, (k+3)/3), (2) -3 <= k <= -3/2$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

平面 $ABC$ の方程式は $x-2y-2z+2=0$ 、法線 $n=(1,-2,-2)$ で $\|n\|^2=9$ 。 $R=(k,k+5,k+5)$ について $n\cdot R+2=-3(k+6)$ 。よって垂線足 $\displaystyle S=R-\frac{n\cdot R+2}{9}n=\left(\frac{4k+6}{3},\frac{k+3}{3},\frac{k+3}{3}\right),\quad \overrightarrow{AS}=\left(\frac{4k+12}{3},\frac{k+3}{3},\frac{k+3}{3}\right).$

$S=\lambda_A A+\lambda_B B+\lambda_C C$ とすると $\lambda_A=-(2k+3)/3$ , $\lambda_B=\lambda_C=(k+3)/3$ 。これらの和は1なので、 $S$ が三角形内（辺上を含む）にある条件は全て非負、すなわち $-3\le k\le-3/2$ .

法線ベクトルによる直交射影でSを求め、三角形の重心座標の非負条件へ置き換えて端点を含む区間を得た。

この問題で使う考え方

法線ベクトルによる直交射影
重心座標の非負条件

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