6筑波大学 2021年 数学 第6問解答・解説

$\displaystyle \omega=-\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}i$ とする。すると $\displaystyle \omega^2=-\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}{2}i$ である。

(1) 各辺の長さを複素数の差の絶対値で求める。 $$\displaystyle \begin{aligned} |AB|&=|\omega-1|=\sqrt{\left(-\frac32\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}=\sqrt3,\\ |BC|&=|\omega^2-\omega|=|{-\sqrt3 i}|=\sqrt3,\\ |CA|&=|1-\omega^2|=\sqrt{\left(\frac32\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}=\sqrt3. \end{aligned}$$ 3辺が等しいため、$\triangle ABC$ は正三角形である。

(2) 辺 $AC$ 上の点は $z=1+t(\omega^2-1)$、$0\le t\le1$ と表せる。よって $$\displaystyle -z=-1+t(1-\omega^2)=-1+\frac32t+\frac{\sqrt3}{2}ti\qquad(0\le t\le1).$$ したがって軌跡は端点 $-1$ と $\displaystyle -\omega^2=\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}i$ を結ぶ閉線分である。座標 $(x,y)$ では $$\displaystyle y=\frac{x+1}{\sqrt3},\qquad -1\le x\le\frac12.$$

(3) 辺 $AB$, $AC$ 上の点をそれぞれ $$\displaystyle z_1=1+t(\omega-1)=1-\frac32t+\frac{\sqrt3}{2}ti,\qquad z_2=1+s(\omega^2-1)=1-\frac32s-\frac{\sqrt3}{2}si, \quad 0\le t,s\le1$$ とおく。二つの軌跡の共有点は $z_1^2=z_2^2$ を満たすので $$(z_1-z_2)(z_1+z_2)=0.$$ まず $z_1=z_2$ なら辺 $AB$ と $AC$ の交点である頂点 $A=1$ しかないため、平方像の共有点は $1$。

次に $z_1=-z_2$ とする。実部と虚部を比較すると $$\displaystyle 2-\frac32(t+s)=0,\qquad \frac{\sqrt3}{2}(t-s)=0,$$ 従って $\displaystyle t=s=\dfrac23$。このとき $\displaystyle z_1=\dfrac{i}{\sqrt3}$ なので、共通の平方像は $\displaystyle z_1^2=-\dfrac13$ である。両パラメータは $0\le t\le1$、$0\le s\le1$ を満たすので実際に実現し、他の可能性はない。したがって $$\displaystyle E_1\cap E_2=\left\{1,-\frac13\right\}.$$