5東北大学 2021年 数学 第5問解答・解説

まず$z=0$なら3点は一直線上にある。$z\ne0$なら、$O,A,B$が同一直線上にある必要十分条件は$z^2/z=z$が実数となることである。よって$z$ が実数であることが必要十分条件。

次に $r=|z|$ とおくと、三辺の長さは $$OA=r,\qquad OB=r^2,\qquad AB=|z^2-z|=r|z-1|$$ である。二等辺三角形では三組の辺のいずれかが等しい。$OA=OB$ から $r=1$（$r=0$ は三角形にならない）を得る。円 $|z|=1$ 上で3点が一直線となるのは実数点 $z=1,-1$ なので、該当部分は $|z|=1,\ z\ne\pm1$ である。

$OA=AB$ は $r=0$ または $|z-1|=1$ と同値である。後者の円上で $z=0$ は点が一致し、$z=2$ は3点が一直線上にあるため、残る部分は $|z-1|=1,\ z\ne0,2$ である。

$OB=AB$ は $r=0$ または $|z|=|z-1|$ と同値である。後者は $\displaystyle \operatorname{Re}z=\tfrac12$ と同値で、この直線上で退化する点は $\displaystyle z=\tfrac12$ のみである。よって求める軌跡は、次のいずれかの条件を満たす点全体である。 $$\displaystyle \begin{gathered}|z|=1,\ z\ne\pm1,\\\text{または}\quad |z-1|=1,\ z\ne0,2,\\\text{または}\quad\operatorname{Re}z=\tfrac12,\ z\ne\tfrac12\end{gathered}$$

(3) $z=re^{i\theta}$（$r>0$）とする。$\theta=0$ では三点が一直線上にあるから、三角形となるのは $\displaystyle 0<\theta\le\tfrac\pi3$ の場合である。二等辺となる条件から半径は $$\displaystyle r=1,\qquad r=2\cos\theta,\qquad r=\frac{1}{2\cos\theta}$$ のいずれかである。$OA$ と $OB$ のなす角は $\theta$ なので、面積 $K$ は $$\displaystyle K=\frac12 r\cdot r^2\sin\theta=\frac12r^3\sin\theta.$$ 三つの枝についてそれぞれ $$\displaystyle K_1=\frac12\sin\theta,\qquad K_2=4\cos^3\theta\sin\theta,\qquad K_3=\frac{\sin\theta}{16\cos^3\theta}$$ となる。$K_1$ は増加し、最大値は $\displaystyle \theta=\tfrac\pi3$ で $\displaystyle \tfrac{\sqrt3}{4}$ である。また $$K_2'=4\cos^2\theta(\cos^2\theta-3\sin^2\theta)$$ より、$K_2$ は $\displaystyle \theta=\tfrac\pi6$ まで増加し、その後減少する。したがって最大値は $\displaystyle K_2(\tfrac\pi6)=\tfrac{3\sqrt3}{4}$ である。さらに $$\displaystyle K_3'=\frac{\cos^2\theta+3\sin^2\theta}{16\cos^4\theta}>0$$ なので、$K_3$ の最大値は $\displaystyle \theta=\tfrac\pi3$ で $\displaystyle \tfrac{\sqrt3}{4}$ である。以上から全体の最大値は $\displaystyle \tfrac{3\sqrt3}{4}$。このとき $\displaystyle r=2\cos\tfrac\pi6=\sqrt3$ であり、 $$\displaystyle z=\sqrt3 e^{i\pi/6}=\frac32+\frac{\sqrt3}{2}i.$$

二つの円と直線の合併。ただし実軸上の白丸の点はすべて除く。