1東北大学 2021年 数学 第1問解答・解説

$q(x)=ax^2+bx+1$ とおく。求める条件は、$q(x)=0$ が $x>0$ に解をもたないことである。

まず $a<0$ なら、判別式 $\Delta=b^2-4a$ は正で、2つの実数解の積は $1/a<0$。よって一方の解は正、もう一方は負となるので、条件を満たさない。

$a=0$ なら $q(x)=bx+1$ である。$b<0$ では $x=-1/b>0$ が解。$b\ge0$ なら $x>0$ で $bx+1>0$ だから、条件を満たす。

次に $a>0$ とする。$b\ge0$ なら $x>0$ で $ax^2>0$, $bx\ge0$ なので $q(x)>0$。したがって条件を満たす。$b<0$ のときは、放物線の頂点の $x$ 座標 $$\displaystyle x_0=-\frac{b}{2a}>0$$ が正であり、正の範囲での最小値は $$\displaystyle q(x_0)=1-\frac{b^2}{4a}.$$ この最小値が正なら正の解はない。0なら正の位置で接し、負なら $q(0)=1>0$ から頂点までに正の解がある。従って、条件を満たすのは $$\displaystyle 1-\frac{b^2}{4a}>0 \quad\text{すなわち}\quad b^2<4a \quad\text{すなわち}\quad b>-2\sqrt a$$ のときである。最後の同値では $b<0$ を使った。

以上をまとめると、求める係数領域は $$\boxed{(a>0\text{ かつ }b>-2\sqrt a)\quad\text{または}\quad(a=0\text{ かつ }b\ge0)}.$$ したがって $a>0$ では曲線 $b=-2\sqrt a$ より上側を塗り、曲線そのものは含めない。$a=0$ のときは $b\ge0$ だけが含まれ、$a<0$ は含まれない。曲線が原点へ近づく一方、原点は $a=0,b=0$ の場合として含まれる。係数平面の概形は別添図に示す。