東北大学／2021年度
東北大学 2021年 数学 第3問解答・解説
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1問題
正八角形 について，以下の問いに答えよ。
(1) 3 個の頂点を結んでできる三角形のうち，直角三角形であるものの個数を求めよ。
(2) 3 個の頂点を結んでできる三角形のうち，直角三角形でも二等辺三角形でもないものの個数を求めよ。
(3) 4 個の頂点を結んでできる四角形のうち, 次の条件 (*) を満たすものの個数を求めよ。
(*) 四角形の 4 個の頂点から 3 点を選んで直角三角形を作れる。
まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。
2解答
解答を見る答えはこの解答の中にあります
正八角形の頂点は同一円周上にあり、対蹠点の組（直径の両端）は4組ある。円周角の定理より、頂点を結んだ三角形が直角三角形であることと、その三角形が対蹠点の組を含むことは同値である。
(1) 直径の両端を斜辺に選ぶ方法は4通りあり、第三頂点は残る6頂点のいずれでもよい。斜辺となる直径は一意なので
(2) 全三角形は 個。二等辺三角形は、頂角となる頂点を8通り選び、その頂点から正八角形上を左右に同じ歩数だけ離れた2頂点を選ぶ。歩数は1,2,3の3通りであり、4歩では左右の頂点が同一の対蹠点になるため三角形にならない。正八角形には正三角形がないので頂角は一意であり、二等辺三角形は 個である。
直角二等辺三角形は、斜辺の両端が対蹠点である。各直径について、第三頂点はその直径の垂直二等分線と円の交点のうち正八角形の頂点である2点から選べるので、 個。したがって、直角でも二等辺でもない三角形は包除原理により
(3) 4頂点から直角三角形を作れるのは、その4頂点に対蹠点の組を少なくとも1組含むときである。対蹠点を含まない選び方は、4組の対蹠点からそれぞれ1頂点ずつ選ぶものなので 通り。よって条件を満たす四角形は
この問題で使う考え方
- 円周角の定理
- 包除原理
- 余事象による数え上げ
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