金沢大学 2021年数学第4問解答・解説

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1問題

金沢大学2021年度第4問

n を 2 以上の自然数とし，点 O を中心とする半径1の円周上にすべての頂点をもつ正2n角形を考える。そのうちの1つの頂点を A とし，A とそれ以外の頂点を結ぶ線分が点 O を中心とする半径1/2の円と共有点をもつような頂点の個数を $a_n$ とする。このとき，次の問いに答えよ。

(1) $a_2$ , $a_3$ , $a_4$ を求めよ。

(2) a_2021 を求めよ。

(3) lim_{n→∞} a_n/n = 2/3 を示せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$a_2=1,a_3=3,a_4=3$
(2)
$a_2021=1347$
(3)
$a_n=2\lfloor n/3\rfloor+1$ なので極限は $\displaystyle \frac23$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

Aから円周上の別の頂点までの小さい方の中心角を $\delta$ とする。対応する弦と中心Oの距離は $\cos(\delta/2)$ 。半径 $\displaystyle \frac12$ の円と弦が共有点をもつ条件は $\displaystyle \cos(\delta/2)\le\frac12, \quad\text{すなわち}\quad \delta\ge\frac{2\pi}{3}.$ 正 $2n$ 角形で頂点差を $j=1,\ldots,n$ と数えると $\delta=\pi j/n$ 。条件は $j\ge\lceil2n/3\rceil$ 。ただし $j<n$ は左右に2頂点、 $j=n$ は対蹠点1つなので $\displaystyle a_n=2\left(n-\left\lceil\frac{2n}{3}\right\rceil\right)+1=2\left\lfloor\frac n3\right\rfloor+1.$ 従って $a_2=1,a_3=3,a_4=3$ 、また $a_{2021}=2\cdot673+1=1347$ 。最後に $\displaystyle \frac{a_n}{n}=\frac{2\lfloor n/3\rfloor+1}{n}\longrightarrow\frac23.$

この問題で使う考え方

弦と中心距離
整数条件の剰余類別
極限

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