3金沢大学 2021年 数学 第3問解答・解説

解答（断面積による単積分） 円柱を $x^2+y^2\le1,\ 0\le z\le1$ とおき，切断面を $z=y\tan30^\circ=y/\sqrt3$ とする（底面の直径を $x$ 軸に選ぶ）。小さい方の部分では $y\ge0$ である。平面 $y=\text{一定}$ で切ると，円柱内の断面の幅は $2\sqrt{1-y^2}$，切断面までの高さは $y/\sqrt3$ だから，その断面は幅 $2\sqrt{1-y^2}$，高さ $y/\sqrt3$ の長方形である。したがって $$\displaystyle V=\int_0^1 2\sqrt{1-y^2}\,\frac{y}{\sqrt3}\,dy =\frac{2}{\sqrt3}\int_0^1 y\sqrt{1-y^2}\,dy =\frac{2}{3\sqrt3} =\frac{2\sqrt3}{9}.$$