1北海道大学 2009年 数学 第1問解答・解説

展開図を折りたたむと、$D,E,F$ は三角錐の頂点 $V$ に重なる。正三角形 $ABE$ より $AV=BV=AB=4$ であり、$AD=AV=4$ である。直角三角形 $ACD$ で三平方の定理を用いると、$CD^2=AD^2-AC^2=16-9=7$。折りたたみ後は $CD=CV$ だから、$CV=\sqrt{7}$。 底面 $ABC$ は $AB^2+AC^2=BC^2$ より $A$ で直角である。$A=(0,0,0), B=(4,0,0), C=(0,3,0)$ とおき、$V=(x,y,z)$ とする。$VA=VB=4$ より $x^2+y^2+z^2=16$ および $(x-4)^2+y^2+z^2=16$ なので、$x=2$。さらに $CV^2=7$ より $4+(y-3)^2+z^2=7$、したがって $(y-3)^2+z^2=3$。一方、$VA^2=16$ と $x=2$ から $y^2+z^2=12$ である。両式の差をとると $6y-9=9$ となり、$y=3$。ゆえに $z^2=3$ で、高さは $\sqrt{3}$。 底面積は $\displaystyle \frac{1}{2}\cdot4\cdot3=6$ だから、三角錐 $V$ の体積は $\displaystyle \frac{1}{3}\cdot6\cdot\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。