北海道大学 2009年数学第2問解答・解説

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1問題

北海道大学2009年度第2問

直角三角形△ABCにおいて∠Bは直角であるとし，辺ACの長さをαとする。辺ACをn等分し，その分点をAに近い方から順にD₁, D₂, D₃, …, Dₙ₋₁とおく。1≦k≦n-1に対し，線分BDₖの長さをLₖとする。このとき，以下の問いに答えよ。

(1) $\displaystyle S_{n}=\sum\limits _{k=1}^{n-1}(L_{k})^{2}$ を $\alpha$ と n で表せ。

(2) $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{S_n}{n}$ を $\alpha$ で表せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$S_n=alpha^2(n-1)(2n-1)/(6n)$
(2)
$limit S_n/n=alpha^2/3$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$AB=c$ とおく。 $AC=\alpha,\ AD_k=k\alpha/n$ で $\cos A=c/\alpha$ 。余弦定理により $\displaystyle L_k^2=BD_k^2 =c^2+\frac{k^2\alpha^2}{n^2} -2c\frac{k\alpha}{n}\frac c\alpha =c^2\left(1-\frac{2k}{n}\right)+\frac{k^2\alpha^2}{n^2}.$ $\displaystyle S_n=\sum\limits _{k=1}^{n-1}L_k^2$ だから $\displaystyle \begin{aligned} S_n &=c^2\left((n-1)-\frac2n\frac{n(n-1)}2\right) +\frac{\alpha^2}{n^2}\frac{n(n-1)(2n-1)}6\\ &=\frac{\alpha^2(n-1)(2n-1)}{6n}. \end{aligned}$ 従って $\displaystyle \frac{S_n}{n}=\frac{\alpha^2}{6} \left(2-\frac3n+\frac1{n^2}\right)\longrightarrow\frac{\alpha^2}{3}.$

この問題で使う考え方

余弦定理
一次和・二乗和
式の整理

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