4熊本大学 2008年 数学 第4問解答・解説

PDF p1医学部（保健看護専攻除く）を含む全4問、p3問4の角度kπ/(2n)を確認。

(1) 放物線上では $x^2=4y$ であり、$y\geq 0$ である。したがって、$F(0,1)$ から$A(x,y)$までの距離は$$r^2=x^2+(y-1)^2=4y+(y-1)^2=(y+1)^2$$より$r=y+1$となる。また、$OA^2=x^2+y^2=4y+y^2$、$OF=1$である。三角形$OFA$に余弦定理を用いると$$4y+y^2=1+r^2-2r\cos\theta=1+(y+1)^2-2(y+1)\cos\theta,$$ゆえに$$\displaystyle \cos\theta=\frac{1-y}{1+y}.$$$x>0$なので$0<\theta<\pi$であり、$1+\cos\theta>0$である。よって半角の公式から$$\displaystyle y=\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}=\tan^2\frac{\theta}{2},\qquad r=1+y=1+\tan^2\frac{\theta}{2}=\sec^2\frac{\theta}{2}.$$

(2) (1)より$\displaystyle FA_k=\sec^2\dfrac{k\pi}{4n}$である。$\displaystyle f(t)=\sec^2\dfrac{\pi t}{4}$とおくと、$f$は $0\le t\le1$ の範囲で連続であり、求める極限は各小区間の右端を使う区分求積の極限だから$$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac1n\sum\limits _{k=1}^n FA_k=\int_0^1\sec^2\frac{\pi t}{4}\,dt.$$ここで$\displaystyle \dfrac{d}{dt}\tan\dfrac{\pi t}{4}=\dfrac{\pi}{4}\sec^2\dfrac{\pi t}{4}$より$$\displaystyle \int_0^1\sec^2\frac{\pi t}{4}\,dt=\frac4\pi\left[\tan\frac{\pi t}{4}\right]_0^1=\frac4\pi.$$