2熊本大学 2008年 数学 第2問解答・解説

(1) $n\geq2$ とする。$b_k=k+a_k$ より $$\displaystyle 1+\sum\limits _{k=1}^{n-1}b_k =1+\sum\limits _{k=1}^{n-1}k+\sum\limits _{k=1}^{n-1}a_k =1+\frac{n(n-1)}2+\sum\limits _{k=1}^{n-1}a_k.$$ ここで $$\displaystyle 1+\frac{n(n-1)}2=n+\frac{(n-1)(n-2)}2$$ だから、$a_n$ の定義を用いると $$\displaystyle 1+\sum\limits _{k=1}^{n-1}b_k=n+a_n=b_n.$$

(2) $a_1=0$ より $b_1=1$。また (1) に $n=2$ を代入すると $b_2=1+b_1=2$。$n\geq2$ では (1) を $n+1$ と $n$ に適用して引き算し、 $$\displaystyle b_{n+1}-b_n=\left(1+\sum\limits _{k=1}^{n}b_k\right)-\left(1+\sum\limits _{k=1}^{n-1}b_k\right)=b_n$$ を得る。よって $b_{n+1}=2b_n$ ($n\geq2$) であり、$b_2=2b_1$ も成り立つから、全ての $n\geq1$ でこの比が成り立つ。したがって $\{b_n\}$ は初項 $1$、公比 $2$ の等比数列で、 $$b_n=2^{n-1}.$$

(3) $b_n=n+a_n$ から $$a_n=b_n-n=2^{n-1}-n.$$

(4) 有限等比数列の和と $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}2$ を用いると $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}a_k =\sum\limits _{k=1}^{n}(2^{k-1}-k) =(2^n-1)-\frac{n(n+1)}2.$$

(1) n≧2 とする。$b_k=k+a_k$ より、 1+Σ_{k=1}^{n−1} b_k = 1+n(n−1)/2+Σ_{k=1}^{n−1} a_k。 一方、1+n(n−1)/2 = n+(n−1)(n−2)/2 なので、$a_n$ の定義から右辺は n+a_n=b_n となる。これで指定された関係が示された。

(2) $a_1=0$ だから $b_1=1$。 (1)で n=2 とすると $b_2=1+b_1=2$。n≧2 では (1)を n+1 と n に適用して引き算すると b_{n+1}−b_n=b_n、すなわち $b_{n+1}=2b_n$ である。さらに $b_2=2b_1$ も成り立つから、全ての n≧1 について {b_n} は初項1、公比2の等比数列で、b_n=2^{n−1}。

(3) $b_n=n+a_n$ より a_n=b_n−n=2^{n−1}−n。

(4) 有限等比数列の和と 1+2+…+n=n(n+1)/2 を使うと、Σ_{k=1}^{n}a_k=Σ_{k=1}^{n}(2^{k−1}−k)=(2^n−1)−n(n+1)/2。