2福井大学 2014年 数学 第2問解答・解説

(1) 一般項

漸化式を定点1からの差で表すと $$\displaystyle a_{n+1}-1=\frac43(a_n-1).$$ 初項は $a_1-1=1$ だから、$a_n-1$ は初項1、公比 $4/3$ の等比数列。したがって $$\displaystyle \boxed{a_n=1+\left(\frac43\right)^{n-1}}.$$

(2) 比の小数部分

$t_n=(4/3)^{n-1}>0$ とおくと $$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1+(4/3)t_n}{1+t_n} =1+\frac{t_n}{3(1+t_n)}.$$ $0<t_n/[3(1+t_n)]<1/3<1$ より、最後の分数が比の小数部分である。よって $$\displaystyle \boxed{b_n=\frac{(4/3)^{n-1}}{3\{1+(4/3)^{n-1}\}}}.$$

(3) 逆数の和

$$\displaystyle \frac1{b_k}=3+3\left(\frac34\right)^{k-1}.$$ 有限等比数列の和を使えば $$\displaystyle \boxed{\sum\limits _{k=1}^n\frac1{b_k}=3n+12\left(1-\left(\frac34\right)^n\right)}.$$ $n=1$ では $a_2=7/3$、比は $7/6$、$b_1=1/6$、逆数和は6となり、各式と一致する。